Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57119 / 44819
↖ ↑ ↗
← N 49.348388°
W 23.117981°		 ← 198.93 m → N 49.348388°
W 23.115235°		 →
↑
198.97 m
↓
↑
198.97 m
↓
N 49.346599°
W 23.117981°		 ← 198.94 m →
39 581 m²		 N 49.346599°
W 23.115235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57119 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44819 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435787200927734 y=0.341945648193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435787200927734 × 217)
    floor (0.435787200927734 × 131072)
    floor (57119.5)     		tx = 57119
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341945648193359 × 217)
    floor (0.341945648193359 × 131072)
    floor (44819.5)     		ty = 44819
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57119 / 44819 ti = "17/57119/44819"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57119/44819.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57119 ÷ 217
    57119 ÷ 131072     		x = 0.435783386230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44819 ÷ 217
    44819 ÷ 131072     		y = 0.341941833496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435783386230469 × 2 - 1) × π
    -0.128433227539062 × 3.1415926535     		Λ = -0.40348488
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341941833496094 × 2 - 1) × π
    0.316116333007812 × 3.1415926535     		Φ = 0.993108749428703
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40348488} λ = -0.40348488}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.993108749428703))-π/2
    2×atan(2.69961386394367)-π/2
    2×1.2160440903903-π/2
    2.4320881807806-1.57079632675     		φ = 0.86129185
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40348488} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.117981°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86129185 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.348388°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57119 KachelY 44819 -0.40348488 0.86129185 -23.117981 49.348388
    Oben rechts KachelX + 1 57120 KachelY 44819 -0.40343695 0.86129185 -23.115235 49.348388
    Unten links KachelX 57119 KachelY + 1 44820 -0.40348488 0.86126062 -23.117981 49.346599
    Unten rechts KachelX + 1 57120 KachelY + 1 44820 -0.40343695 0.86126062 -23.115235 49.346599
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86129185-0.86126062) × R
    3.12299999999377e-05 × 6371000     		dl = 198.966329999603m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86129185-0.86126062) × R
    3.12299999999377e-05 × 6371000     		dr = 198.966329999603m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40348488--0.40343695) × cos(0.86129185) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.651457905102808 × 6371000     		do = 198.930508361632m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40348488--0.40343695) × cos(0.86126062) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.651481598510847 × 6371000     		du = 198.937743428808m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86129185)-sin(0.86126062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.651457905102808-0.651481598510847)×R²
    abs(-0.40343695--0.40348488)×2.36934080388718e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.36934080388718e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.36934080388718e-05×40589641000000     		ar = 39581.1929443127m²