Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57115 / 85033
↖ ↑ ↗
← S 47.116869°
W 23.128967°		 ← 207.84 m → S 47.116869°
W 23.126220°		 →
↑
207.82 m
↓
↑
207.82 m
↓
S 47.118738°
W 23.128967°		 ← 207.84 m →
43 194 m²		 S 47.118738°
W 23.126220°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57115 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85033 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435756683349609 y=0.648754119873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435756683349609 × 217)
    floor (0.435756683349609 × 131072)
    floor (57115.5)     		tx = 57115
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648754119873047 × 217)
    floor (0.648754119873047 × 131072)
    floor (85033.5)     		ty = 85033
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57115 / 85033 ti = "17/57115/85033"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57115/85033.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57115 ÷ 217
    57115 ÷ 131072     		x = 0.435752868652344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85033 ÷ 217
    85033 ÷ 131072     		y = 0.648750305175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435752868652344 × 2 - 1) × π
    -0.128494262695312 × 3.1415926535     		Λ = -0.40367663
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.648750305175781 × 2 - 1) × π
    -0.297500610351562 × 3.1415926535     		Φ = -0.934625731892235
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40367663} λ = -0.40367663}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.934625731892235))-π/2
    2×atan(0.392732825400027)-π/2
    2×0.374225915444233-π/2
    0.748451830888466-1.57079632675     		φ = -0.82234450
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40367663} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.128967°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82234450 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.116869°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57115 KachelY 85033 -0.40367663 -0.82234450 -23.128967 -47.116869
    Oben rechts KachelX + 1 57116 KachelY 85033 -0.40362869 -0.82234450 -23.126220 -47.116869
    Unten links KachelX 57115 KachelY + 1 85034 -0.40367663 -0.82237712 -23.128967 -47.118738
    Unten rechts KachelX + 1 57116 KachelY + 1 85034 -0.40362869 -0.82237712 -23.126220 -47.118738
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82234450--0.82237712) × R
    3.26199999999277e-05 × 6371000     		dl = 207.822019999539m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82234450--0.82237712) × R
    3.26199999999277e-05 × 6371000     		dr = 207.822019999539m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40367663--0.40362869) × cos(-0.82234450) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.680505162485134 × 6371000     		do = 207.843792825706m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40367663--0.40362869) × cos(-0.82237712) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.680481260037084 × 6371000     		du = 207.836492402823m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82234450)-sin(-0.82237712))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.680505162485134-0.680481260037084)×R²
    abs(-0.40362869--0.40367663)×2.39024480502836e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39024480502836e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39024480502836e-05×40589641000000     		ar = 43193.7582789481m²