Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57114 / 45354
↖ ↑ ↗
← N 48.381794°
W 23.131714°		 ← 202.85 m → N 48.381794°
W 23.128967°		 →
↑
202.85 m
↓
↑
202.85 m
↓
N 48.379970°
W 23.131714°		 ← 202.86 m →
41 150 m²		 N 48.379970°
W 23.128967°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57114 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45354 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435749053955078 y=0.346027374267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435749053955078 × 217)
    floor (0.435749053955078 × 131072)
    floor (57114.5)     		tx = 57114
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346027374267578 × 217)
    floor (0.346027374267578 × 131072)
    floor (45354.5)     		ty = 45354
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57114 / 45354 ti = "17/57114/45354"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57114/45354.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57114 ÷ 217
    57114 ÷ 131072     		x = 0.435745239257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45354 ÷ 217
    45354 ÷ 131072     		y = 0.346023559570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435745239257812 × 2 - 1) × π
    -0.128509521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.40372457
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346023559570312 × 2 - 1) × π
    0.307952880859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.967462508131973
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40372457} λ = -0.40372457}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.967462508131973))-π/2
    2×atan(2.63125918224552)-π/2
    2×1.20760896471053-π/2
    2.41521792942107-1.57079632675     		φ = 0.84442160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40372457} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.131714°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84442160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.381794°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57114 KachelY 45354 -0.40372457 0.84442160 -23.131714 48.381794
    Oben rechts KachelX + 1 57115 KachelY 45354 -0.40367663 0.84442160 -23.128967 48.381794
    Unten links KachelX 57114 KachelY + 1 45355 -0.40372457 0.84438976 -23.131714 48.379970
    Unten rechts KachelX + 1 57115 KachelY + 1 45355 -0.40367663 0.84438976 -23.128967 48.379970
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84442160-0.84438976) × R
    3.18400000000052e-05 × 6371000     		dl = 202.852640000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84442160-0.84438976) × R
    3.18400000000052e-05 × 6371000     		dr = 202.852640000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40372457--0.40367663) × cos(0.84442160) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.664163797929546 × 6371000     		do = 202.852719463944m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40372457--0.40367663) × cos(0.84438976) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.664187600765665 × 6371000     		du = 202.85998946278m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84442160)-sin(0.84438976))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664163797929546-0.664187600765665)×R²
    abs(-0.40367663--0.40372457)×2.38028361195797e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38028361195797e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38028361195797e-05×40589641000000     		ar = 41149.9470470135m²