Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57114 / 38201
↖ ↑ ↗
← N 59.810304°
W 23.131714°		 ← 153.59 m → N 59.810304°
W 23.128967°		 →
↑
153.60 m
↓
↑
153.60 m
↓
N 59.808923°
W 23.131714°		 ← 153.59 m →
23 592 m²		 N 59.808923°
W 23.128967°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57114 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38201 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435749053955078 y=0.291454315185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435749053955078 × 217)
    floor (0.435749053955078 × 131072)
    floor (57114.5)     		tx = 57114
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291454315185547 × 217)
    floor (0.291454315185547 × 131072)
    floor (38201.5)     		ty = 38201
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57114 / 38201 ti = "17/57114/38201"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57114/38201.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57114 ÷ 217
    57114 ÷ 131072     		x = 0.435745239257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38201 ÷ 217
    38201 ÷ 131072     		y = 0.291450500488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435745239257812 × 2 - 1) × π
    -0.128509521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.40372457
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.291450500488281 × 2 - 1) × π
    0.417098999023438 × 3.1415926535     		Φ = 1.31035515111423
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40372457} λ = -0.40372457}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.31035515111423))-π/2
    2×atan(3.70749019769544)-π/2
    2×1.30734152712202-π/2
    2.61468305424404-1.57079632675     		φ = 1.04388673
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40372457} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.131714°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04388673 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.810304°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57114 KachelY 38201 -0.40372457 1.04388673 -23.131714 59.810304
    Oben rechts KachelX + 1 57115 KachelY 38201 -0.40367663 1.04388673 -23.128967 59.810304
    Unten links KachelX 57114 KachelY + 1 38202 -0.40372457 1.04386262 -23.131714 59.808923
    Unten rechts KachelX + 1 57115 KachelY + 1 38202 -0.40367663 1.04386262 -23.128967 59.808923
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04388673-1.04386262) × R
    2.41100000000216e-05 × 6371000     		dl = 153.604810000138m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04388673-1.04386262) × R
    2.41100000000216e-05 × 6371000     		dr = 153.604810000138m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40372457--0.40367663) × cos(1.04388673) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.502864509643645 × 6371000     		do = 153.587764977724m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40372457--0.40367663) × cos(1.04386262) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.502885349343658 × 6371000     		du = 153.594129958522m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04388673)-sin(1.04386262))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.502864509643645-0.502885349343658)×R²
    abs(-0.40367663--0.40372457)×2.08397000134308e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.08397000134308e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.08397000134308e-05×40589641000000     		ar = 23592.3083046772m²