Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57114 / 29755
↖ ↑ ↗
← N 69.600677°
W 23.131714°		 ← 106.46 m → N 69.600677°
W 23.128967°		 →
↑
106.46 m
↓
↑
106.46 m
↓
N 69.599720°
W 23.131714°		 ← 106.46 m →
11 334 m²		 N 69.599720°
W 23.128967°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57114 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29755 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435749053955078 y=0.227016448974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435749053955078 × 217)
    floor (0.435749053955078 × 131072)
    floor (57114.5)     		tx = 57114
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227016448974609 × 217)
    floor (0.227016448974609 × 131072)
    floor (29755.5)     		ty = 29755
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57114 / 29755 ti = "17/57114/29755"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57114/29755.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57114 ÷ 217
    57114 ÷ 131072     		x = 0.435745239257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29755 ÷ 217
    29755 ÷ 131072     		y = 0.227012634277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435745239257812 × 2 - 1) × π
    -0.128509521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.40372457
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.227012634277344 × 2 - 1) × π
    0.545974731445312 × 3.1415926535     		Φ = 1.71523020530523
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40372457} λ = -0.40372457}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71523020530523))-π/2
    2×atan(5.55795483579167)-π/2
    2×1.39277865413376-π/2
    2.78555730826751-1.57079632675     		φ = 1.21476098
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40372457} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.131714°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21476098 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.600677°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57114 KachelY 29755 -0.40372457 1.21476098 -23.131714 69.600677
    Oben rechts KachelX + 1 57115 KachelY 29755 -0.40367663 1.21476098 -23.128967 69.600677
    Unten links KachelX 57114 KachelY + 1 29756 -0.40372457 1.21474427 -23.131714 69.599720
    Unten rechts KachelX + 1 57115 KachelY + 1 29756 -0.40367663 1.21474427 -23.128967 69.599720
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21476098-1.21474427) × R
    1.67100000001419e-05 × 6371000     		dl = 106.459410000904m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21476098-1.21474427) × R
    1.67100000001419e-05 × 6371000     		dr = 106.459410000904m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40372457--0.40367663) × cos(1.21476098) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.348560968050781 × 6371000     		do = 106.459491602079m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40372457--0.40367663) × cos(1.21474427) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.348576630053011 × 6371000     		du = 106.464275180701m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21476098)-sin(1.21474427))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348560968050781-0.348576630053011)×R²
    abs(-0.40367663--0.40372457)×1.56620022301879e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.56620022301879e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.56620022301879e-05×40589641000000     		ar = 11333.8692937808m²