Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57113 / 80984
↖ ↑ ↗
← S 39.010647°
W 23.134461°		 ← 237.32 m → S 39.010647°
W 23.131714°		 →
↑
237.32 m
↓
↑
237.32 m
↓
S 39.012782°
W 23.134461°		 ← 237.32 m →
56 321 m²		 S 39.012782°
W 23.131714°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57113 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80984 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435741424560547 y=0.617862701416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435741424560547 × 217)
    floor (0.435741424560547 × 131072)
    floor (57113.5)     		tx = 57113
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.617862701416016 × 217)
    floor (0.617862701416016 × 131072)
    floor (80984.5)     		ty = 80984
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57113 / 80984 ti = "17/57113/80984"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57113/80984.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57113 ÷ 217
    57113 ÷ 131072     		x = 0.435737609863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80984 ÷ 217
    80984 ÷ 131072     		y = 0.61785888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435737609863281 × 2 - 1) × π
    -0.128524780273438 × 3.1415926535     		Λ = -0.40377251
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61785888671875 × 2 - 1) × π
    -0.2357177734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.740529225330627
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40377251} λ = -0.40377251}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.740529225330627))-π/2
    2×atan(0.476861481554462)-π/2
    2×0.444966042213974-π/2
    0.889932084427948-1.57079632675     		φ = -0.68086424
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40377251} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.134461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68086424 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.010647°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57113 KachelY 80984 -0.40377251 -0.68086424 -23.134461 -39.010647
    Oben rechts KachelX + 1 57114 KachelY 80984 -0.40372457 -0.68086424 -23.131714 -39.010647
    Unten links KachelX 57113 KachelY + 1 80985 -0.40377251 -0.68090149 -23.134461 -39.012782
    Unten rechts KachelX + 1 57114 KachelY + 1 80985 -0.40372457 -0.68090149 -23.131714 -39.012782
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68086424--0.68090149) × R
    3.72499999999887e-05 × 6371000     		dl = 237.319749999928m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68086424--0.68090149) × R
    3.72499999999887e-05 × 6371000     		dr = 237.319749999928m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40377251--0.40372457) × cos(-0.68086424) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.777029000346795 × 6371000     		do = 237.324657432224m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40377251--0.40372457) × cos(-0.68090149) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.777005552243966 × 6371000     		du = 237.317495778066m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68086424)-sin(-0.68090149))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.777029000346795-0.777005552243966)×R²
    abs(-0.40372457--0.40377251)×2.3448102828949e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3448102828949e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3448102828949e-05×40589641000000     		ar = 56320.9785761814m²