Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57112 / 42351
↖ ↑ ↗
← N 53.568045°
W 23.137207°		 ← 181.34 m → N 53.568045°
W 23.134461°		 →
↑
181.32 m
↓
↑
181.32 m
↓
N 53.566414°
W 23.137207°		 ← 181.35 m →
32 882 m²		 N 53.566414°
W 23.134461°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57112 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42351 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435733795166016 y=0.323116302490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435733795166016 × 217)
    floor (0.435733795166016 × 131072)
    floor (57112.5)     		tx = 57112
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323116302490234 × 217)
    floor (0.323116302490234 × 131072)
    floor (42351.5)     		ty = 42351
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57112 / 42351 ti = "17/57112/42351"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57112/42351.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57112 ÷ 217
    57112 ÷ 131072     		x = 0.43572998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42351 ÷ 217
    42351 ÷ 131072     		y = 0.323112487792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43572998046875 × 2 - 1) × π
    -0.1285400390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40382044
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323112487792969 × 2 - 1) × π
    0.353775024414062 × 3.1415926535     		Φ = 1.111417017691
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40382044} λ = -0.40382044}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.111417017691))-π/2
    2×atan(3.03866118180436)-π/2
    2×1.25286754547676-π/2
    2.50573509095351-1.57079632675     		φ = 0.93493876
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40382044} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.137207°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93493876 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.568045°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57112 KachelY 42351 -0.40382044 0.93493876 -23.137207 53.568045
    Oben rechts KachelX + 1 57113 KachelY 42351 -0.40377251 0.93493876 -23.134461 53.568045
    Unten links KachelX 57112 KachelY + 1 42352 -0.40382044 0.93491030 -23.137207 53.566414
    Unten rechts KachelX + 1 57113 KachelY + 1 42352 -0.40377251 0.93491030 -23.134461 53.566414
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93493876-0.93491030) × R
    2.84600000000079e-05 × 6371000     		dl = 181.31866000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93493876-0.93491030) × R
    2.84600000000079e-05 × 6371000     		dr = 181.31866000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40382044--0.40377251) × cos(0.93493876) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.593867698908067 × 6371000     		do = 181.344646090107m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40382044--0.40377251) × cos(0.93491030) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.593890596522316 × 6371000     		du = 181.351638152076m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93493876)-sin(0.93491030))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.593867698908067-0.593890596522316)×R²
    abs(-0.40377251--0.40382044)×2.28976142486736e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.28976142486736e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.28976142486736e-05×40589641000000     		ar = 32881.802125161m²