Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57111 / 84848
↖ ↑ ↗
← S 46.769968°
W 23.139954°		 ← 209.19 m → S 46.769968°
W 23.137207°		 →
↑
209.16 m
↓
↑
209.16 m
↓
S 46.771849°
W 23.139954°		 ← 209.19 m →
43 754 m²		 S 46.771849°
W 23.137207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84848 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435726165771484 y=0.647342681884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435726165771484 × 217)
    floor (0.435726165771484 × 131072)
    floor (57111.5)     		tx = 57111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647342681884766 × 217)
    floor (0.647342681884766 × 131072)
    floor (84848.5)     		ty = 84848
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57111 / 84848 ti = "17/57111/84848"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57111/84848.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57111 ÷ 217
    57111 ÷ 131072     		x = 0.435722351074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84848 ÷ 217
    84848 ÷ 131072     		y = 0.6473388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435722351074219 × 2 - 1) × π
    -0.128555297851562 × 3.1415926535     		Λ = -0.40386838
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6473388671875 × 2 - 1) × π
    -0.294677734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.925757405462524
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40386838} λ = -0.40386838}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.925757405462524))-π/2
    2×atan(0.396231197721122)-π/2
    2×0.377253193296706-π/2
    0.754506386593412-1.57079632675     		φ = -0.81628994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40386838} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.139954°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81628994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.769968°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57111 KachelY 84848 -0.40386838 -0.81628994 -23.139954 -46.769968
    Oben rechts KachelX + 1 57112 KachelY 84848 -0.40382044 -0.81628994 -23.137207 -46.769968
    Unten links KachelX 57111 KachelY + 1 84849 -0.40386838 -0.81632277 -23.139954 -46.771849
    Unten rechts KachelX + 1 57112 KachelY + 1 84849 -0.40382044 -0.81632277 -23.137207 -46.771849
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81628994--0.81632277) × R
    3.28299999999837e-05 × 6371000     		dl = 209.159929999896m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81628994--0.81632277) × R
    3.28299999999837e-05 × 6371000     		dr = 209.159929999896m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40386838--0.40382044) × cos(-0.81628994) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.684929100734778 × 6371000     		do = 209.194977439559m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40386838--0.40382044) × cos(-0.81632277) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.684905180108498 × 6371000     		du = 209.187671464576m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81628994)-sin(-0.81632277))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.684929100734778-0.684905180108498)×R²
    abs(-0.40382044--0.40386838)×2.39206262797609e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39206262797609e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39206262797609e-05×40589641000000     		ar = 43754.4427829771m²