Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57111 / 38200
↖ ↑ ↗
← N 59.811685°
W 23.139954°		 ← 153.58 m → N 59.811685°
W 23.137207°		 →
↑
153.54 m
↓
↑
153.54 m
↓
N 59.810304°
W 23.139954°		 ← 153.59 m →
23 582 m²		 N 59.810304°
W 23.137207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38200 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435726165771484 y=0.291446685791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435726165771484 × 217)
    floor (0.435726165771484 × 131072)
    floor (57111.5)     		tx = 57111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291446685791016 × 217)
    floor (0.291446685791016 × 131072)
    floor (38200.5)     		ty = 38200
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57111 / 38200 ti = "17/57111/38200"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57111/38200.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57111 ÷ 217
    57111 ÷ 131072     		x = 0.435722351074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38200 ÷ 217
    38200 ÷ 131072     		y = 0.29144287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435722351074219 × 2 - 1) × π
    -0.128555297851562 × 3.1415926535     		Λ = -0.40386838
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29144287109375 × 2 - 1) × π
    0.4171142578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.31040308801386
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40386838} λ = -0.40386838}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.31040308801386))-π/2
    2×atan(3.70766792754077)-π/2
    2×1.30735357975513-π/2
    2.61470715951026-1.57079632675     		φ = 1.04391083
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40386838} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.139954°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04391083 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.811685°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57111 KachelY 38200 -0.40386838 1.04391083 -23.139954 59.811685
    Oben rechts KachelX + 1 57112 KachelY 38200 -0.40382044 1.04391083 -23.137207 59.811685
    Unten links KachelX 57111 KachelY + 1 38201 -0.40386838 1.04388673 -23.139954 59.810304
    Unten rechts KachelX + 1 57112 KachelY + 1 38201 -0.40382044 1.04388673 -23.137207 59.810304
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04391083-1.04388673) × R
    2.40999999998603e-05 × 6371000     		dl = 153.54109999911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04391083-1.04388673) × R
    2.40999999998603e-05 × 6371000     		dr = 153.54109999911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40386838--0.40382044) × cos(1.04391083) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.502843678295094 × 6371000     		do = 153.581402547678m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40386838--0.40382044) × cos(1.04388673) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.502864509643645 × 6371000     		du = 153.587764977724m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04391083)-sin(1.04388673))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.502843678295094-0.502864509643645)×R²
    abs(-0.40382044--0.40386838)×2.08313485506872e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.08313485506872e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.08313485506872e-05×40589641000000     		ar = 23581.5459351103m²