Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57110 / 42357
↖ ↑ ↗
← N 53.558258°
W 23.142700°		 ← 181.42 m → N 53.558258°
W 23.139954°		 →
↑
181.45 m
↓
↑
181.45 m
↓
N 53.556626°
W 23.142700°		 ← 181.43 m →
32 919 m²		 N 53.556626°
W 23.139954°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57110 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42357 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435718536376953 y=0.323162078857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435718536376953 × 217)
    floor (0.435718536376953 × 131072)
    floor (57110.5)     		tx = 57110
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323162078857422 × 217)
    floor (0.323162078857422 × 131072)
    floor (42357.5)     		ty = 42357
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57110 / 42357 ti = "17/57110/42357"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57110/42357.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57110 ÷ 217
    57110 ÷ 131072     		x = 0.435714721679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42357 ÷ 217
    42357 ÷ 131072     		y = 0.323158264160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435714721679688 × 2 - 1) × π
    -0.128570556640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40391632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323158264160156 × 2 - 1) × π
    0.353683471679688 × 3.1415926535     		Φ = 1.11112939629328
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40391632} λ = -0.40391632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11112939629328))-π/2
    2×atan(3.03778732350425)-π/2
    2×1.25278213106637-π/2
    2.50556426213274-1.57079632675     		φ = 0.93476794
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40391632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.142700°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93476794 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.558258°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57110 KachelY 42357 -0.40391632 0.93476794 -23.142700 53.558258
    Oben rechts KachelX + 1 57111 KachelY 42357 -0.40386838 0.93476794 -23.139954 53.558258
    Unten links KachelX 57110 KachelY + 1 42358 -0.40391632 0.93473946 -23.142700 53.556626
    Unten rechts KachelX + 1 57111 KachelY + 1 42358 -0.40386838 0.93473946 -23.139954 53.556626
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93476794-0.93473946) × R
    2.84799999999974e-05 × 6371000     		dl = 181.446079999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93476794-0.93473946) × R
    2.84799999999974e-05 × 6371000     		dr = 181.446079999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40391632--0.40386838) × cos(0.93476794) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.594005125645346 × 6371000     		do = 181.424455063904m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40391632--0.40386838) × cos(0.93473946) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.594028036460982 × 6371000     		du = 181.431452616724m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93476794)-sin(0.93473946))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.594005125645346-0.594028036460982)×R²
    abs(-0.40386838--0.40391632)×2.29108156358793e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.29108156358793e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.29108156358793e-05×40589641000000     		ar = 32919.3910289919m²