Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57109 / 30470
↖ ↑ ↗
← N 68.905074°
W 23.145447°		 ← 109.90 m → N 68.905074°
W 23.142700°		 →
↑
109.90 m
↓
↑
109.90 m
↓
N 68.904086°
W 23.145447°		 ← 109.91 m →
12 079 m²		 N 68.904086°
W 23.142700°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57109 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30470 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435710906982422 y=0.232471466064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435710906982422 × 217)
    floor (0.435710906982422 × 131072)
    floor (57109.5)     		tx = 57109
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.232471466064453 × 217)
    floor (0.232471466064453 × 131072)
    floor (30470.5)     		ty = 30470
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57109 / 30470 ti = "17/57109/30470"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57109/30470.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57109 ÷ 217
    57109 ÷ 131072     		x = 0.435707092285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30470 ÷ 217
    30470 ÷ 131072     		y = 0.232467651367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435707092285156 × 2 - 1) × π
    -0.128585815429688 × 3.1415926535     		Λ = -0.40396425
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.232467651367188 × 2 - 1) × π
    0.535064697265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.68095532207689
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40396425} λ = -0.40396425}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68095532207689))-π/2
    2×atan(5.37068425438706)-π/2
    2×1.38670837353031-π/2
    2.77341674706063-1.57079632675     		φ = 1.20262042
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40396425} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.145447°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20262042 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.905074°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57109 KachelY 30470 -0.40396425 1.20262042 -23.145447 68.905074
    Oben rechts KachelX + 1 57110 KachelY 30470 -0.40391632 1.20262042 -23.142700 68.905074
    Unten links KachelX 57109 KachelY + 1 30471 -0.40396425 1.20260317 -23.145447 68.904086
    Unten rechts KachelX + 1 57110 KachelY + 1 30471 -0.40391632 1.20260317 -23.142700 68.904086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20262042-1.20260317) × R
    1.72499999999687e-05 × 6371000     		dl = 109.8997499998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20262042-1.20260317) × R
    1.72499999999687e-05 × 6371000     		dr = 109.8997499998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40396425--0.40391632) × cos(1.20262042) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.359914179327768 × 6371000     		do = 109.904124425378m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40396425--0.40391632) × cos(1.20260317) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.359930273272617 × 6371000     		du = 109.909038905048m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20262042)-sin(1.20260317))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.359914179327768-0.359930273272617)×R²
    abs(-0.40391632--0.40396425)×1.60939448494157e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.60939448494157e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.60939448494157e-05×40589641000000     		ar = 12078.7058486741m²