Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 57108 / 9036
↖ ↑ ↗
← N 78.264802°
E133.703613°		 ← 124.24 m → N 78.264802°
E133.709107°		 →
↑
124.23 m
↓
↑
124.23 m
↓
N 78.263685°
E133.703613°		 ← 124.25 m →
15 436 m²		 N 78.263685°
E133.709107°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57108 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9036 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.871406555175781 y=0.137886047363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.871406555175781 × 216)
    floor (0.871406555175781 × 65536)
    floor (57108.5)     		tx = 57108
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137886047363281 × 216)
    floor (0.137886047363281 × 65536)
    floor (9036.5)     		ty = 9036
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57108 / 9036 ti = "16/57108/9036"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57108/9036.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57108 ÷ 216
    57108 ÷ 65536     		x = 0.87139892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9036 ÷ 216
    9036 ÷ 65536     		y = 0.13787841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87139892578125 × 2 - 1) × π
    0.7427978515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.33356827
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13787841796875 × 2 - 1) × π
    0.7242431640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.27527700356635
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33356827} λ = 2.33356827}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27527700356635))-π/2
    2×atan(9.7306140540703)-π/2
    2×1.46838740528119-π/2
    2.93677481056238-1.57079632675     		φ = 1.36597848
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33356827} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.703613°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36597848 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.264802°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57108 KachelY 9036 2.33356827 1.36597848 133.703613 78.264802
    Oben rechts KachelX + 1 57109 KachelY 9036 2.33366415 1.36597848 133.709107 78.264802
    Unten links KachelX 57108 KachelY + 1 9037 2.33356827 1.36595898 133.703613 78.263685
    Unten rechts KachelX + 1 57109 KachelY + 1 9037 2.33366415 1.36595898 133.709107 78.263685
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36597848-1.36595898) × R
    1.95000000000611e-05 × 6371000     		dl = 124.234500000389m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36597848-1.36595898) × R
    1.95000000000611e-05 × 6371000     		dr = 124.234500000389m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33356827-2.33366415) × cos(1.36597848) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.203388817432284 × 6371000     		do = 124.240360144455m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33356827-2.33366415) × cos(1.36595898) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.203407909805563 × 6371000     		du = 124.252022748929m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36597848)-sin(1.36595898))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203388817432284-0.203407909805563)×R²
    abs(2.33366415-2.33356827)×1.90923732789616e-05×R²
    9.58800000003812e-05×1.90923732789616e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×1.90923732789616e-05×40589641000000     		ar = 15435.6634719424m²