Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 57105 / 8977
↖ ↑ ↗
← N 78.330537°
E133.687134°		 ← 123.55 m → N 78.330537°
E133.692627°		 →
↑
123.53 m
↓
↑
123.53 m
↓
N 78.329426°
E133.687134°		 ← 123.57 m →
15 264 m²		 N 78.329426°
E133.692627°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57105 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8977 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.871360778808594 y=0.136985778808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.871360778808594 × 216)
    floor (0.871360778808594 × 65536)
    floor (57105.5)     		tx = 57105
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136985778808594 × 216)
    floor (0.136985778808594 × 65536)
    floor (8977.5)     		ty = 8977
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57105 / 8977 ti = "16/57105/8977"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57105/8977.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57105 ÷ 216
    57105 ÷ 65536     		x = 0.871353149414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8977 ÷ 216
    8977 ÷ 65536     		y = 0.136978149414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.871353149414062 × 2 - 1) × π
    0.742706298828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.33328065
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.136978149414062 × 2 - 1) × π
    0.726043701171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.28093355772151
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33328065} λ = 2.33328065}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28093355772151))-π/2
    2×atan(9.78581176667727)-π/2
    2×1.46896105507987-π/2
    2.93792211015973-1.57079632675     		φ = 1.36712578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33328065} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.687134°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36712578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.330537°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57105 KachelY 8977 2.33328065 1.36712578 133.687134 78.330537
    Oben rechts KachelX + 1 57106 KachelY 8977 2.33337653 1.36712578 133.692627 78.330537
    Unten links KachelX 57105 KachelY + 1 8978 2.33328065 1.36710639 133.687134 78.329426
    Unten rechts KachelX + 1 57106 KachelY + 1 8978 2.33337653 1.36710639 133.692627 78.329426
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36712578-1.36710639) × R
    1.93900000000635e-05 × 6371000     		dl = 123.533690000405m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36712578-1.36710639) × R
    1.93900000000635e-05 × 6371000     		dr = 123.533690000405m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33328065-2.33337653) × cos(1.36712578) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.202265364627402 × 6371000     		do = 123.554097335307m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33328065-2.33337653) × cos(1.36710639) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.202284353812664 × 6371000     		du = 123.565696907228m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36712578)-sin(1.36710639))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.202265364627402-0.202284353812664)×R²
    abs(2.33337653-2.33328065)×1.89891852616364e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.89891852616364e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.89891852616364e-05×40589641000000     		ar = 15263.8100278226m²