Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57104 / 42288
↖ ↑ ↗
← N 53.670680°
W 23.159180°		 ← 180.94 m → N 53.670680°
W 23.156433°		 →
↑
180.94 m
↓
↑
180.94 m
↓
N 53.669053°
W 23.159180°		 ← 180.95 m →
32 740 m²		 N 53.669053°
W 23.156433°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57104 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42288 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435672760009766 y=0.322635650634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435672760009766 × 217)
    floor (0.435672760009766 × 131072)
    floor (57104.5)     		tx = 57104
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322635650634766 × 217)
    floor (0.322635650634766 × 131072)
    floor (42288.5)     		ty = 42288
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57104 / 42288 ti = "17/57104/42288"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57104/42288.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57104 ÷ 217
    57104 ÷ 131072     		x = 0.4356689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42288 ÷ 217
    42288 ÷ 131072     		y = 0.3226318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4356689453125 × 2 - 1) × π
    -0.128662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.40420394
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3226318359375 × 2 - 1) × π
    0.354736328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.11443704236707
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40420394} λ = -0.40420394}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11443704236707))-π/2
    2×atan(3.04785188464494)-π/2
    2×1.25376320396852-π/2
    2.50752640793703-1.57079632675     		φ = 0.93673008
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40420394} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.159180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93673008 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.670680°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57104 KachelY 42288 -0.40420394 0.93673008 -23.159180 53.670680
    Oben rechts KachelX + 1 57105 KachelY 42288 -0.40415600 0.93673008 -23.156433 53.670680
    Unten links KachelX 57104 KachelY + 1 42289 -0.40420394 0.93670168 -23.159180 53.669053
    Unten rechts KachelX + 1 57105 KachelY + 1 42289 -0.40415600 0.93670168 -23.156433 53.669053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93673008-0.93670168) × R
    2.84000000000395e-05 × 6371000     		dl = 180.936400000252m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93673008-0.93670168) × R
    2.84000000000395e-05 × 6371000     		dr = 180.936400000252m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40420394--0.40415600) × cos(0.93673008) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.592425517593882 × 6371000     		do = 180.942002105876m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40420394--0.40415600) × cos(0.93670168) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.592448397111408 × 6371000     		du = 180.948990099447m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93673008)-sin(0.93670168))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.592425517593882-0.592448397111408)×R²
    abs(-0.40415600--0.40420394)×2.28795175255536e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.28795175255536e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.28795175255536e-05×40589641000000     		ar = 32739.6266631388m²