Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57104 / 30446
↖ ↑ ↗
← N 68.928786°
W 23.159180°		 ← 109.81 m → N 68.928786°
W 23.156433°		 →
↑
109.77 m
↓
↑
109.77 m
↓
N 68.927799°
W 23.159180°		 ← 109.81 m →
12 054 m²		 N 68.927799°
W 23.156433°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57104 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30446 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435672760009766 y=0.232288360595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435672760009766 × 217)
    floor (0.435672760009766 × 131072)
    floor (57104.5)     		tx = 57104
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.232288360595703 × 217)
    floor (0.232288360595703 × 131072)
    floor (30446.5)     		ty = 30446
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57104 / 30446 ti = "17/57104/30446"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57104/30446.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57104 ÷ 217
    57104 ÷ 131072     		x = 0.4356689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30446 ÷ 217
    30446 ÷ 131072     		y = 0.232284545898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4356689453125 × 2 - 1) × π
    -0.128662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.40420394
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.232284545898438 × 2 - 1) × π
    0.535430908203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.68210580766777
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40420394} λ = -0.40420394}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68210580766777))-π/2
    2×atan(5.37686670496312)-π/2
    2×1.38691530048675-π/2
    2.7738306009735-1.57079632675     		φ = 1.20303427
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40420394} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.159180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20303427 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.928786°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57104 KachelY 30446 -0.40420394 1.20303427 -23.159180 68.928786
    Oben rechts KachelX + 1 57105 KachelY 30446 -0.40415600 1.20303427 -23.156433 68.928786
    Unten links KachelX 57104 KachelY + 1 30447 -0.40420394 1.20301704 -23.159180 68.927799
    Unten rechts KachelX + 1 57105 KachelY + 1 30447 -0.40415600 1.20301704 -23.156433 68.927799
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20303427-1.20301704) × R
    1.72300000000902e-05 × 6371000     		dl = 109.772330000575m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20303427-1.20301704) × R
    1.72300000000902e-05 × 6371000     		dr = 109.772330000575m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40420394--0.40415600) × cos(1.20303427) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.359528032503454 × 6371000     		do = 109.809115378039m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40420394--0.40415600) × cos(1.20301704) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.359544110353817 × 6371000     		du = 109.814025967384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20303427)-sin(1.20301704))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.359528032503454-0.359544110353817)×R²
    abs(-0.40415600--0.40420394)×1.60778503627834e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.60778503627834e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.60778503627834e-05×40589641000000     		ar = 12054.27197401m²