Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57103 / 30454
↖ ↑ ↗
← N 68.920885°
W 23.161926°		 ← 109.83 m → N 68.920885°
W 23.159180°		 →
↑
109.84 m
↓
↑
109.84 m
↓
N 68.919897°
W 23.161926°		 ← 109.83 m →
12 063 m²		 N 68.919897°
W 23.159180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57103 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30454 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435665130615234 y=0.232349395751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435665130615234 × 217)
    floor (0.435665130615234 × 131072)
    floor (57103.5)     		tx = 57103
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.232349395751953 × 217)
    floor (0.232349395751953 × 131072)
    floor (30454.5)     		ty = 30454
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57103 / 30454 ti = "17/57103/30454"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57103/30454.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57103 ÷ 217
    57103 ÷ 131072     		x = 0.435661315917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30454 ÷ 217
    30454 ÷ 131072     		y = 0.232345581054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435661315917969 × 2 - 1) × π
    -0.128677368164062 × 3.1415926535     		Λ = -0.40425187
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.232345581054688 × 2 - 1) × π
    0.535308837890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.68172231247081
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40425187} λ = -0.40425187}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68172231247081))-π/2
    2×atan(5.37480509774057)-π/2
    2×1.38684634951449-π/2
    2.77369269902899-1.57079632675     		φ = 1.20289637
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40425187} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.161926°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20289637 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.920885°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57103 KachelY 30454 -0.40425187 1.20289637 -23.161926 68.920885
    Oben rechts KachelX + 1 57104 KachelY 30454 -0.40420394 1.20289637 -23.159180 68.920885
    Unten links KachelX 57103 KachelY + 1 30455 -0.40425187 1.20287913 -23.161926 68.919897
    Unten rechts KachelX + 1 57104 KachelY + 1 30455 -0.40420394 1.20287913 -23.159180 68.919897
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20289637-1.20287913) × R
    1.72400000000295e-05 × 6371000     		dl = 109.836040000188m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20289637-1.20287913) × R
    1.72400000000295e-05 × 6371000     		dr = 109.836040000188m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40425187--0.40420394) × cos(1.20289637) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.359656708302481 × 6371000     		do = 109.825502550431m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40425187--0.40420394) × cos(1.20287913) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.359672794629212 × 6371000     		du = 109.830414703817m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20289637)-sin(1.20287913))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.359656708302481-0.359672794629212)×R²
    abs(-0.40420394--0.40425187)×1.60863267310574e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.60863267310574e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.60863267310574e-05×40589641000000     		ar = 12063.0680571803m²