Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57102 / 30448
↖ ↑ ↗
← N 68.926811°
W 23.164673°		 ← 109.82 m → N 68.926811°
W 23.161926°		 →
↑
109.77 m
↓
↑
109.77 m
↓
N 68.925824°
W 23.164673°		 ← 109.82 m →
12 055 m²		 N 68.925824°
W 23.161926°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57102 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30448 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435657501220703 y=0.232303619384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435657501220703 × 217)
    floor (0.435657501220703 × 131072)
    floor (57102.5)     		tx = 57102
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.232303619384766 × 217)
    floor (0.232303619384766 × 131072)
    floor (30448.5)     		ty = 30448
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57102 / 30448 ti = "17/57102/30448"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57102/30448.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57102 ÷ 217
    57102 ÷ 131072     		x = 0.435653686523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30448 ÷ 217
    30448 ÷ 131072     		y = 0.2322998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435653686523438 × 2 - 1) × π
    -0.128692626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.40429981
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2322998046875 × 2 - 1) × π
    0.535400390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.68200993386853
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40429981} λ = -0.40429981}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68200993386853))-π/2
    2×atan(5.37635122903482)-π/2
    2×1.38689806505678-π/2
    2.77379613011356-1.57079632675     		φ = 1.20299980
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40429981} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.164673°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20299980 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.926811°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57102 KachelY 30448 -0.40429981 1.20299980 -23.164673 68.926811
    Oben rechts KachelX + 1 57103 KachelY 30448 -0.40425187 1.20299980 -23.161926 68.926811
    Unten links KachelX 57102 KachelY + 1 30449 -0.40429981 1.20298257 -23.164673 68.925824
    Unten rechts KachelX + 1 57103 KachelY + 1 30449 -0.40425187 1.20298257 -23.161926 68.925824
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20299980-1.20298257) × R
    1.72299999998682e-05 × 6371000     		dl = 109.77232999916m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20299980-1.20298257) × R
    1.72299999998682e-05 × 6371000     		dr = 109.77232999916m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40429981--0.40425187) × cos(1.20299980) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.359560197428659 × 6371000     		do = 109.818939374122m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40429981--0.40425187) × cos(1.20298257) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.359576275065477 × 6371000     		du = 109.823849898245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20299980)-sin(1.20298257))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.359560197428659-0.359576275065477)×R²
    abs(-0.40425187--0.40429981)×1.6077636818046e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.6077636818046e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.6077636818046e-05×40589641000000     		ar = 12055.3503733225m²