Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57100 / 8893
↖ ↑ ↗
← N 78.423501°
E133.659668°		 ← 122.58 m → N 78.423501°
E133.665161°		 →
↑
122.58 m
↓
↑
122.58 m
↓
N 78.422398°
E133.659668°		 ← 122.59 m →
15 027 m²		 N 78.422398°
E133.665161°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57100 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8893 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.871284484863281 y=0.135704040527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.871284484863281 × 216)
    floor (0.871284484863281 × 65536)
    floor (57100.5)     		tx = 57100
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135704040527344 × 216)
    floor (0.135704040527344 × 65536)
    floor (8893.5)     		ty = 8893
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57100 / 8893 ti = "16/57100/8893"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57100/8893.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57100 ÷ 216
    57100 ÷ 65536     		x = 0.87127685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8893 ÷ 216
    8893 ÷ 65536     		y = 0.135696411132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87127685546875 × 2 - 1) × π
    0.7425537109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.33280128
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.135696411132812 × 2 - 1) × π
    0.728607177734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.28898695685768
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33280128} λ = 2.33280128}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28898695685768))-π/2
    2×atan(9.86493900867285)-π/2
    2×1.46977231318705-π/2
    2.93954462637411-1.57079632675     		φ = 1.36874830
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33280128} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.659668°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36874830 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.423501°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57100 KachelY 8893 2.33280128 1.36874830 133.659668 78.423501
    Oben rechts KachelX + 1 57101 KachelY 8893 2.33289716 1.36874830 133.665161 78.423501
    Unten links KachelX 57100 KachelY + 1 8894 2.33280128 1.36872906 133.659668 78.422398
    Unten rechts KachelX + 1 57101 KachelY + 1 8894 2.33289716 1.36872906 133.665161 78.422398
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36874830-1.36872906) × R
    1.9240000000087e-05 × 6371000     		dl = 122.578040000554m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36874830-1.36872906) × R
    1.9240000000087e-05 × 6371000     		dr = 122.578040000554m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33280128-2.33289716) × cos(1.36874830) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.200676115353549 × 6371000     		do = 122.583302064286m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33280128-2.33289716) × cos(1.36872906) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.200694963929449 × 6371000     		du = 122.59481574477m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36874830)-sin(1.36872906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.200676115353549-0.200694963929449)×R²
    abs(2.33289716-2.33280128)×1.88485758998436e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.88485758998436e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.88485758998436e-05×40589641000000     		ar = 15026.7265667519m²