Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57100 / 44823
↖ ↑ ↗
← N 49.341231°
W 23.170166°		 ← 199 m → N 49.341231°
W 23.167420°		 →
↑
198.97 m
↓
↑
198.97 m
↓
N 49.339441°
W 23.170166°		 ← 199.01 m →
39 595 m²		 N 49.339441°
W 23.167420°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57100 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44823 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435642242431641 y=0.341976165771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435642242431641 × 217)
    floor (0.435642242431641 × 131072)
    floor (57100.5)     		tx = 57100
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341976165771484 × 217)
    floor (0.341976165771484 × 131072)
    floor (44823.5)     		ty = 44823
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57100 / 44823 ti = "17/57100/44823"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57100/44823.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57100 ÷ 217
    57100 ÷ 131072     		x = 0.435638427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44823 ÷ 217
    44823 ÷ 131072     		y = 0.341972351074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435638427734375 × 2 - 1) × π
    -0.12872314453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.40439569
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341972351074219 × 2 - 1) × π
    0.316055297851562 × 3.1415926535     		Φ = 0.992917001830223
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40439569} λ = -0.40439569}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.992917001830223))-π/2
    2×atan(2.69909626909381)-π/2
    2×1.21598162810307-π/2
    2.43196325620615-1.57079632675     		φ = 0.86116693
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40439569} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.170166°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86116693 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.341231°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57100 KachelY 44823 -0.40439569 0.86116693 -23.170166 49.341231
    Oben rechts KachelX + 1 57101 KachelY 44823 -0.40434775 0.86116693 -23.167420 49.341231
    Unten links KachelX 57100 KachelY + 1 44824 -0.40439569 0.86113570 -23.170166 49.339441
    Unten rechts KachelX + 1 57101 KachelY + 1 44824 -0.40434775 0.86113570 -23.167420 49.339441
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86116693-0.86113570) × R
    3.12300000000487e-05 × 6371000     		dl = 198.96633000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86116693-0.86113570) × R
    3.12300000000487e-05 × 6371000     		dr = 198.96633000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40439569--0.40434775) × cos(0.86116693) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.65155267492248 × 6371000     		do = 199.000957887047m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40439569--0.40434775) × cos(0.86113570) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.651576365788787 × 6371000     		du = 199.00819368742m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86116693)-sin(0.86113570))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65155267492248-0.651576365788787)×R²
    abs(-0.40434775--0.40439569)×2.36908663066027e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36908663066027e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36908663066027e-05×40589641000000     		ar = 39595.2101009741m²