Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 571 / 708
↖ ↑ ↗
← N 75.408854°
W129.814453°		 ← 2 462.01 m → N 75.408854°
W129.726562°		 →
↑
2 463.86 m
↓
↑
2 463.86 m
↓
N 75.386696°
W129.814453°		 ← 2 465.67 m →
6 070 543 m²		 N 75.386696°
W129.726562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 571 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 708 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1395263671875 y=0.1729736328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1395263671875 × 212)
    floor (0.1395263671875 × 4096)
    floor (571.5)     		tx = 571
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1729736328125 × 212)
    floor (0.1729736328125 × 4096)
    floor (708.5)     		ty = 708
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 571 / 708 ti = "12/571/708"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/571/708.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 571 ÷ 212
    571 ÷ 4096     		x = 0.139404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 708 ÷ 212
    708 ÷ 4096     		y = 0.1728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.139404296875 × 2 - 1) × π
    -0.72119140625 × 3.1415926535     		Λ = -2.26568962
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1728515625 × 2 - 1) × π
    0.654296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.05553425570801
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.26568962} λ = -2.26568962}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.05553425570801))-π/2
    2×atan(7.81100983467888)-π/2
    2×1.44346455911163-π/2
    2.88692911822325-1.57079632675     		φ = 1.31613279
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.26568962} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.814453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31613279 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.408854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 571 KachelY 708 -2.26568962 1.31613279 -129.814453 75.408854
    Oben rechts KachelX + 1 572 KachelY 708 -2.26415564 1.31613279 -129.726562 75.408854
    Unten links KachelX 571 KachelY + 1 709 -2.26568962 1.31574606 -129.814453 75.386696
    Unten rechts KachelX + 1 572 KachelY + 1 709 -2.26415564 1.31574606 -129.726562 75.386696
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31613279-1.31574606) × R
    0.000386730000000002 × 6371000     		dl = 2463.85683000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31613279-1.31574606) × R
    0.000386730000000002 × 6371000     		dr = 2463.85683000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.26568962--2.26415564) × cos(1.31613279) × R
    0.00153398000000005 × 0.251919811268558 × 6371000     		do = 2462.00893476383m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.26568962--2.26415564) × cos(1.31574606) × R
    0.00153398000000005 × 0.25229404964809 × 6371000     		du = 2465.66636142471m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31613279)-sin(1.31574606))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.251919811268558-0.25229404964809)×R²
    abs(-2.26415564--2.26568962)×0.000374238379531933×R²
    0.00153398000000005×0.000374238379531933×6371000²
    0.00153398000000005×0.000374238379531933×40589641000000     		ar = 6070543.29292218m²