Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57099 / 28929
↖ ↑ ↗
← N 70.376931°
W 23.172912°		 ← 102.55 m → N 70.376931°
W 23.170166°		 →
↑
102.57 m
↓
↑
102.57 m
↓
N 70.376009°
W 23.172912°		 ← 102.55 m →
10 519 m²		 N 70.376009°
W 23.170166°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57099 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28929 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435634613037109 y=0.220714569091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435634613037109 × 217)
    floor (0.435634613037109 × 131072)
    floor (57099.5)     		tx = 57099
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.220714569091797 × 217)
    floor (0.220714569091797 × 131072)
    floor (28929.5)     		ty = 28929
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57099 / 28929 ti = "17/57099/28929"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57099/28929.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57099 ÷ 217
    57099 ÷ 131072     		x = 0.435630798339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28929 ÷ 217
    28929 ÷ 131072     		y = 0.220710754394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435630798339844 × 2 - 1) × π
    -0.128738403320312 × 3.1415926535     		Λ = -0.40444362
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.220710754394531 × 2 - 1) × π
    0.558578491210938 × 3.1415926535     		Φ = 1.7548260843914
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40444362} λ = -0.40444362}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7548260843914))-π/2
    2×atan(5.78244199758276)-π/2
    2×1.39955275010613-π/2
    2.79910550021226-1.57079632675     		φ = 1.22830917
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40444362} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.172912°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22830917 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.376931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57099 KachelY 28929 -0.40444362 1.22830917 -23.172912 70.376931
    Oben rechts KachelX + 1 57100 KachelY 28929 -0.40439569 1.22830917 -23.170166 70.376931
    Unten links KachelX 57099 KachelY + 1 28930 -0.40444362 1.22829307 -23.172912 70.376009
    Unten rechts KachelX + 1 57100 KachelY + 1 28930 -0.40439569 1.22829307 -23.170166 70.376009
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22830917-1.22829307) × R
    1.60999999998523e-05 × 6371000     		dl = 102.573099999059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22830917-1.22829307) × R
    1.60999999998523e-05 × 6371000     		dr = 102.573099999059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40444362--0.40439569) × cos(1.22830917) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.33583083692913 × 6371000     		do = 102.549986101341m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40444362--0.40439569) × cos(1.22829307) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.335846001834888 × 6371000     		du = 102.554616887748m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22830917)-sin(1.22829307))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.33583083692913-0.335846001834888)×R²
    abs(-0.40439569--0.40444362)×1.51649057579251e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.51649057579251e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.51649057579251e-05×40589641000000     		ar = 10519.1074765567m²