Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57098 / 38173
↖ ↑ ↗
← N 59.848954°
W 23.175659°		 ← 153.41 m → N 59.848954°
W 23.172912°		 →
↑
153.41 m
↓
↑
153.41 m
↓
N 59.847574°
W 23.175659°		 ← 153.42 m →
23 536 m²		 N 59.847574°
W 23.172912°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57098 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38173 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435626983642578 y=0.291240692138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435626983642578 × 217)
    floor (0.435626983642578 × 131072)
    floor (57098.5)     		tx = 57098
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291240692138672 × 217)
    floor (0.291240692138672 × 131072)
    floor (38173.5)     		ty = 38173
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57098 / 38173 ti = "17/57098/38173"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57098/38173.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57098 ÷ 217
    57098 ÷ 131072     		x = 0.435623168945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38173 ÷ 217
    38173 ÷ 131072     		y = 0.291236877441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435623168945312 × 2 - 1) × π
    -0.128753662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.40449156
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.291236877441406 × 2 - 1) × π
    0.417526245117188 × 3.1415926535     		Φ = 1.3116973843036
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40449156} λ = -0.40449156}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.3116973843036))-π/2
    2×atan(3.71246985527125)-π/2
    2×1.30767881212175-π/2
    2.6153576242435-1.57079632675     		φ = 1.04456130
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40449156} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.175659°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04456130 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.848954°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57098 KachelY 38173 -0.40449156 1.04456130 -23.175659 59.848954
    Oben rechts KachelX + 1 57099 KachelY 38173 -0.40444362 1.04456130 -23.172912 59.848954
    Unten links KachelX 57098 KachelY + 1 38174 -0.40449156 1.04453722 -23.175659 59.847574
    Unten rechts KachelX + 1 57099 KachelY + 1 38174 -0.40444362 1.04453722 -23.172912 59.847574
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04456130-1.04453722) × R
    2.40799999999819e-05 × 6371000     		dl = 153.413679999885m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04456130-1.04453722) × R
    2.40799999999819e-05 × 6371000     		dr = 153.413679999885m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40449156--0.40444362) × cos(1.04456130) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.502281320408448 × 6371000     		do = 153.409643974004m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40449156--0.40444362) × cos(1.04453722) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.502302142341653 × 6371000     		du = 153.416003528362m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04456130)-sin(1.04453722))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.502281320408448-0.502302142341653)×R²
    abs(-0.40444362--0.40449156)×2.0821933205073e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.0821933205073e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.0821933205073e-05×40589641000000     		ar = 23535.6258519893m²