Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57098 / 38118
↖ ↑ ↗
← N 59.924743°
W 23.175659°		 ← 153.06 m → N 59.924743°
W 23.172912°		 →
↑
153.10 m
↓
↑
153.10 m
↓
N 59.923366°
W 23.175659°		 ← 153.07 m →
23 433 m²		 N 59.923366°
W 23.172912°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57098 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38118 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435626983642578 y=0.290821075439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435626983642578 × 217)
    floor (0.435626983642578 × 131072)
    floor (57098.5)     		tx = 57098
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.290821075439453 × 217)
    floor (0.290821075439453 × 131072)
    floor (38118.5)     		ty = 38118
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57098 / 38118 ti = "17/57098/38118"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57098/38118.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57098 ÷ 217
    57098 ÷ 131072     		x = 0.435623168945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38118 ÷ 217
    38118 ÷ 131072     		y = 0.290817260742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435623168945312 × 2 - 1) × π
    -0.128753662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.40449156
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.290817260742188 × 2 - 1) × π
    0.418365478515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.3143339137827
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40449156} λ = -0.40449156}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.3143339137827))-π/2
    2×atan(3.72227080605535)-π/2
    2×1.3083401974798-π/2
    2.6166803949596-1.57079632675     		φ = 1.04588407
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40449156} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.175659°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04588407 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.924743°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57098 KachelY 38118 -0.40449156 1.04588407 -23.175659 59.924743
    Oben rechts KachelX + 1 57099 KachelY 38118 -0.40444362 1.04588407 -23.172912 59.924743
    Unten links KachelX 57098 KachelY + 1 38119 -0.40449156 1.04586004 -23.175659 59.923366
    Unten rechts KachelX + 1 57099 KachelY + 1 38119 -0.40444362 1.04586004 -23.172912 59.923366
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04588407-1.04586004) × R
    2.40300000000637e-05 × 6371000     		dl = 153.095130000406m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04588407-1.04586004) × R
    2.40300000000637e-05 × 6371000     		dr = 153.095130000406m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40449156--0.40444362) × cos(1.04588407) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.501137076448418 × 6371000     		do = 153.060162415771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40449156--0.40444362) × cos(1.04586004) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.501157871094757 × 6371000     		du = 153.066513636017m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04588407)-sin(1.04586004))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.501137076448418-0.501157871094757)×R²
    abs(-0.40444362--0.40449156)×2.0794646338862e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.0794646338862e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.0794646338862e-05×40589641000000     		ar = 23433.2516345901m²