Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57097 / 38185
↖ ↑ ↗
← N 59.832395°
W 23.178406°		 ← 153.49 m → N 59.832395°
W 23.175659°		 →
↑
153.48 m
↓
↑
153.48 m
↓
N 59.831015°
W 23.178406°		 ← 153.49 m →
23 557 m²		 N 59.831015°
W 23.175659°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57097 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38185 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435619354248047 y=0.291332244873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435619354248047 × 217)
    floor (0.435619354248047 × 131072)
    floor (57097.5)     		tx = 57097
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291332244873047 × 217)
    floor (0.291332244873047 × 131072)
    floor (38185.5)     		ty = 38185
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57097 / 38185 ti = "17/57097/38185"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57097/38185.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57097 ÷ 217
    57097 ÷ 131072     		x = 0.435615539550781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38185 ÷ 217
    38185 ÷ 131072     		y = 0.291328430175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435615539550781 × 2 - 1) × π
    -0.128768920898438 × 3.1415926535     		Λ = -0.40453950
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.291328430175781 × 2 - 1) × π
    0.417343139648438 × 3.1415926535     		Φ = 1.31112214150816
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40453950} λ = -0.40453950}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.31112214150816))-π/2
    2×atan(3.71033489785202)-π/2
    2×1.30753430933176-π/2
    2.61506861866352-1.57079632675     		φ = 1.04427229
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40453950} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.178406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04427229 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.832395°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57097 KachelY 38185 -0.40453950 1.04427229 -23.178406 59.832395
    Oben rechts KachelX + 1 57098 KachelY 38185 -0.40449156 1.04427229 -23.175659 59.832395
    Unten links KachelX 57097 KachelY + 1 38186 -0.40453950 1.04424820 -23.178406 59.831015
    Unten rechts KachelX + 1 57098 KachelY + 1 38186 -0.40449156 1.04424820 -23.175659 59.831015
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04427229-1.04424820) × R
    2.40900000001432e-05 × 6371000     		dl = 153.477390000912m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04427229-1.04424820) × R
    2.40900000001432e-05 × 6371000     		dr = 153.477390000912m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40453950--0.40449156) × cos(1.04427229) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.502531207609174 × 6371000     		do = 153.485965957025m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40453950--0.40449156) × cos(1.04424820) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.50255203469135 × 6371000     		du = 153.49232708401m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04427229)-sin(1.04424820))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.502531207609174-0.50255203469135)×R²
    abs(-0.40449156--0.40453950)×2.08270821759893e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.08270821759893e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.08270821759893e-05×40589641000000     		ar = 23557.1136027185m²