Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57096 / 42280
↖ ↑ ↗
← N 53.683695°
W 23.181152°		 ← 180.85 m → N 53.683695°
W 23.178406°		 →
↑
180.87 m
↓
↑
180.87 m
↓
N 53.682069°
W 23.181152°		 ← 180.86 m →
32 711 m²		 N 53.682069°
W 23.178406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57096 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42280 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435611724853516 y=0.322574615478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435611724853516 × 217)
    floor (0.435611724853516 × 131072)
    floor (57096.5)     		tx = 57096
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322574615478516 × 217)
    floor (0.322574615478516 × 131072)
    floor (42280.5)     		ty = 42280
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57096 / 42280 ti = "17/57096/42280"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57096/42280.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57096 ÷ 217
    57096 ÷ 131072     		x = 0.43560791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42280 ÷ 217
    42280 ÷ 131072     		y = 0.32257080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43560791015625 × 2 - 1) × π
    -0.1287841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40458743
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32257080078125 × 2 - 1) × π
    0.3548583984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.11482053756403
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40458743} λ = -0.40458743}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11482053756403))-π/2
    2×atan(3.049020945354)-π/2
    2×1.25387678259148-π/2
    2.50775356518297-1.57079632675     		φ = 0.93695724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40458743} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.181152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93695724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.683695°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57096 KachelY 42280 -0.40458743 0.93695724 -23.181152 53.683695
    Oben rechts KachelX + 1 57097 KachelY 42280 -0.40453950 0.93695724 -23.178406 53.683695
    Unten links KachelX 57096 KachelY + 1 42281 -0.40458743 0.93692885 -23.181152 53.682069
    Unten rechts KachelX + 1 57097 KachelY + 1 42281 -0.40453950 0.93692885 -23.178406 53.682069
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93695724-0.93692885) × R
    2.83899999999893e-05 × 6371000     		dl = 180.872689999932m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93695724-0.93692885) × R
    2.83899999999893e-05 × 6371000     		dr = 180.872689999932m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40458743--0.40453950) × cos(0.93695724) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.592242496483858 × 6371000     		do = 180.848370978689m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40458743--0.40453950) × cos(0.93692885) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.592265371765378 × 6371000     		du = 180.855356221091m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93695724)-sin(0.93692885))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.592242496483858-0.592265371765378)×R²
    abs(-0.40453950--0.40458743)×2.28752815201183e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.28752815201183e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.28752815201183e-05×40589641000000     		ar = 32711.163062878m²