Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57096 / 42247
↖ ↑ ↗
← N 53.737340°
W 23.181152°		 ← 180.62 m → N 53.737340°
W 23.178406°		 →
↑
180.62 m
↓
↑
180.62 m
↓
N 53.735716°
W 23.181152°		 ← 180.62 m →
32 623 m²		 N 53.735716°
W 23.178406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57096 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42247 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435611724853516 y=0.322322845458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435611724853516 × 217)
    floor (0.435611724853516 × 131072)
    floor (57096.5)     		tx = 57096
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322322845458984 × 217)
    floor (0.322322845458984 × 131072)
    floor (42247.5)     		ty = 42247
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57096 / 42247 ti = "17/57096/42247"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57096/42247.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57096 ÷ 217
    57096 ÷ 131072     		x = 0.43560791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42247 ÷ 217
    42247 ÷ 131072     		y = 0.322319030761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43560791015625 × 2 - 1) × π
    -0.1287841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40458743
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322319030761719 × 2 - 1) × π
    0.355361938476562 × 3.1415926535     		Φ = 1.11640245525149
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40458743} λ = -0.40458743}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11640245525149))-π/2
    2×atan(3.05384806256131)-π/2
    2×1.25434492354398-π/2
    2.50868984708796-1.57079632675     		φ = 0.93789352
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40458743} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.181152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93789352 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.737340°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57096 KachelY 42247 -0.40458743 0.93789352 -23.181152 53.737340
    Oben rechts KachelX + 1 57097 KachelY 42247 -0.40453950 0.93789352 -23.178406 53.737340
    Unten links KachelX 57096 KachelY + 1 42248 -0.40458743 0.93786517 -23.181152 53.735716
    Unten rechts KachelX + 1 57097 KachelY + 1 42248 -0.40453950 0.93786517 -23.178406 53.735716
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93789352-0.93786517) × R
    2.83500000000103e-05 × 6371000     		dl = 180.617850000066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93789352-0.93786517) × R
    2.83500000000103e-05 × 6371000     		dr = 180.617850000066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40458743--0.40453950) × cos(0.93789352) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.59148782024007 × 6371000     		do = 180.617921508893m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40458743--0.40453950) × cos(0.93786517) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.591510679002371 × 6371000     		du = 180.624901706953m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93789352)-sin(0.93786517))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.59148782024007-0.591510679002371)×R²
    abs(-0.40453950--0.40458743)×2.28587623006815e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.28587623006815e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.28587623006815e-05×40589641000000     		ar = 32623.4510306539m²