Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57096 / 29464
↖ ↑ ↗
← N 69.877452°
W 23.181152°		 ← 105.05 m → N 69.877452°
W 23.178406°		 →
↑
105.06 m
↓
↑
105.06 m
↓
N 69.876507°
W 23.181152°		 ← 105.06 m →
11 037 m²		 N 69.876507°
W 23.178406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57096 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29464 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435611724853516 y=0.224796295166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435611724853516 × 217)
    floor (0.435611724853516 × 131072)
    floor (57096.5)     		tx = 57096
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224796295166016 × 217)
    floor (0.224796295166016 × 131072)
    floor (29464.5)     		ty = 29464
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57096 / 29464 ti = "17/57096/29464"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57096/29464.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57096 ÷ 217
    57096 ÷ 131072     		x = 0.43560791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29464 ÷ 217
    29464 ÷ 131072     		y = 0.22479248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43560791015625 × 2 - 1) × π
    -0.1287841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40458743
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22479248046875 × 2 - 1) × π
    0.5504150390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.72917984309467
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40458743} λ = -0.40458743}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72917984309467))-π/2
    2×atan(5.63602958376984)-π/2
    2×1.39519396996792-π/2
    2.79038793993585-1.57079632675     		φ = 1.21959161
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40458743} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.181152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21959161 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.877452°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57096 KachelY 29464 -0.40458743 1.21959161 -23.181152 69.877452
    Oben rechts KachelX + 1 57097 KachelY 29464 -0.40453950 1.21959161 -23.178406 69.877452
    Unten links KachelX 57096 KachelY + 1 29465 -0.40458743 1.21957512 -23.181152 69.876507
    Unten rechts KachelX + 1 57097 KachelY + 1 29465 -0.40453950 1.21957512 -23.178406 69.876507
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21959161-1.21957512) × R
    1.64899999999246e-05 × 6371000     		dl = 105.05778999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21959161-1.21957512) × R
    1.64899999999246e-05 × 6371000     		dr = 105.05778999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40458743--0.40453950) × cos(1.21959161) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.344029236434484 × 6371000     		do = 105.053466017048m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40458743--0.40453950) × cos(1.21957512) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.344044719820572 × 6371000     		du = 105.058194055256m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21959161)-sin(1.21957512))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344029236434484-0.344044719820572)×R²
    abs(-0.40453950--0.40458743)×1.54833860882553e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.54833860882553e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.54833860882553e-05×40589641000000     		ar = 11036.9333303726m²