Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57095 / 8906
↖ ↑ ↗
← N 78.409161°
E133.632202°		 ← 122.73 m → N 78.409161°
E133.637695°		 →
↑
122.71 m
↓
↑
122.71 m
↓
N 78.408058°
E133.632202°		 ← 122.74 m →
15 061 m²		 N 78.408058°
E133.637695°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57095 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8906 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.871208190917969 y=0.135902404785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.871208190917969 × 216)
    floor (0.871208190917969 × 65536)
    floor (57095.5)     		tx = 57095
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135902404785156 × 216)
    floor (0.135902404785156 × 65536)
    floor (8906.5)     		ty = 8906
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57095 / 8906 ti = "16/57095/8906"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57095/8906.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57095 ÷ 216
    57095 ÷ 65536     		x = 0.871200561523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8906 ÷ 216
    8906 ÷ 65536     		y = 0.135894775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.871200561523438 × 2 - 1) × π
    0.742401123046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.33232191
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.135894775390625 × 2 - 1) × π
    0.72821044921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.28774059746756
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33232191} λ = 2.33232191}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28774059746756))-π/2
    2×atan(9.85265140828012)-π/2
    2×1.46964717952883-π/2
    2.93929435905767-1.57079632675     		φ = 1.36849803
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33232191} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.632202°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36849803 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.409161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57095 KachelY 8906 2.33232191 1.36849803 133.632202 78.409161
    Oben rechts KachelX + 1 57096 KachelY 8906 2.33241779 1.36849803 133.637695 78.409161
    Unten links KachelX 57095 KachelY + 1 8907 2.33232191 1.36847877 133.632202 78.408058
    Unten rechts KachelX + 1 57096 KachelY + 1 8907 2.33241779 1.36847877 133.637695 78.408058
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36849803-1.36847877) × R
    1.92599999999654e-05 × 6371000     		dl = 122.70545999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36849803-1.36847877) × R
    1.92599999999654e-05 × 6371000     		dr = 122.70545999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33232191-2.33241779) × cos(1.36849803) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.200921287984524 × 6371000     		do = 122.733066128772m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33232191-2.33241779) × cos(1.36847877) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.200940155185564 × 6371000     		du = 122.744591186451m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36849803)-sin(1.36847877))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.200921287984524-0.200940155185564)×R²
    abs(2.33241779-2.33232191)×1.88672010399127e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.88672010399127e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.88672010399127e-05×40589641000000     		ar = 15060.7244305189m²