Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57095 / 42267
↖ ↑ ↗
← N 53.704836°
W 23.183899°		 ← 180.80 m → N 53.704836°
W 23.181152°		 →
↑
180.81 m
↓
↑
180.81 m
↓
N 53.703210°
W 23.183899°		 ← 180.80 m →
32 690 m²		 N 53.703210°
W 23.181152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57095 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42267 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435604095458984 y=0.322475433349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435604095458984 × 217)
    floor (0.435604095458984 × 131072)
    floor (57095.5)     		tx = 57095
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322475433349609 × 217)
    floor (0.322475433349609 × 131072)
    floor (42267.5)     		ty = 42267
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57095 / 42267 ti = "17/57095/42267"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57095/42267.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57095 ÷ 217
    57095 ÷ 131072     		x = 0.435600280761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42267 ÷ 217
    42267 ÷ 131072     		y = 0.322471618652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435600280761719 × 2 - 1) × π
    -0.128799438476562 × 3.1415926535     		Λ = -0.40463537
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322471618652344 × 2 - 1) × π
    0.355056762695312 × 3.1415926535     		Φ = 1.11544371725909
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40463537} λ = -0.40463537}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11544371725909))-π/2
    2×atan(3.05092162546808)-π/2
    2×1.25406127301363-π/2
    2.50812254602726-1.57079632675     		φ = 0.93732622
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40463537} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.183899°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93732622 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.704836°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57095 KachelY 42267 -0.40463537 0.93732622 -23.183899 53.704836
    Oben rechts KachelX + 1 57096 KachelY 42267 -0.40458743 0.93732622 -23.181152 53.704836
    Unten links KachelX 57095 KachelY + 1 42268 -0.40463537 0.93729784 -23.183899 53.703210
    Unten rechts KachelX + 1 57096 KachelY + 1 42268 -0.40458743 0.93729784 -23.181152 53.703210
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93732622-0.93729784) × R
    2.8379999999939e-05 × 6371000     		dl = 180.808979999611m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93732622-0.93729784) × R
    2.8379999999939e-05 × 6371000     		dr = 180.808979999611m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40463537--0.40458743) × cos(0.93732622) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.591945146930661 × 6371000     		do = 180.795284540587m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40463537--0.40458743) × cos(0.93729784) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.591968020355072 × 6371000     		du = 180.802270673164m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93732622)-sin(0.93729784))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.591945146930661-0.591968020355072)×R²
    abs(-0.40458743--0.40463537)×2.28734244108741e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.28734244108741e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.28734244108741e-05×40589641000000     		ar = 32690.0425664226m²