Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57095 / 38139
↖ ↑ ↗
← N 59.895826°
W 23.183899°		 ← 153.19 m → N 59.895826°
W 23.181152°		 →
↑
153.22 m
↓
↑
153.22 m
↓
N 59.894448°
W 23.183899°		 ← 153.20 m →
23 473 m²		 N 59.894448°
W 23.181152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57095 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38139 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435604095458984 y=0.290981292724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435604095458984 × 217)
    floor (0.435604095458984 × 131072)
    floor (57095.5)     		tx = 57095
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.290981292724609 × 217)
    floor (0.290981292724609 × 131072)
    floor (38139.5)     		ty = 38139
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57095 / 38139 ti = "17/57095/38139"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57095/38139.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57095 ÷ 217
    57095 ÷ 131072     		x = 0.435600280761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38139 ÷ 217
    38139 ÷ 131072     		y = 0.290977478027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435600280761719 × 2 - 1) × π
    -0.128799438476562 × 3.1415926535     		Λ = -0.40463537
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.290977478027344 × 2 - 1) × π
    0.418045043945312 × 3.1415926535     		Φ = 1.31332723889068
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40463537} λ = -0.40463537}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.31332723889068))-π/2
    2×atan(3.71852557492495)-π/2
    2×1.30808784653248-π/2
    2.61617569306496-1.57079632675     		φ = 1.04537937
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40463537} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.183899°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04537937 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.895826°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57095 KachelY 38139 -0.40463537 1.04537937 -23.183899 59.895826
    Oben rechts KachelX + 1 57096 KachelY 38139 -0.40458743 1.04537937 -23.181152 59.895826
    Unten links KachelX 57095 KachelY + 1 38140 -0.40463537 1.04535532 -23.183899 59.894448
    Unten rechts KachelX + 1 57096 KachelY + 1 38140 -0.40458743 1.04535532 -23.181152 59.894448
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04537937-1.04535532) × R
    2.40499999999422e-05 × 6371000     		dl = 153.222549999632m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04537937-1.04535532) × R
    2.40499999999422e-05 × 6371000     		dr = 153.222549999632m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40463537--0.40458743) × cos(1.04537937) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.501573763791906 × 6371000     		do = 153.193537970628m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40463537--0.40458743) × cos(1.04535532) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.501594569659766 × 6371000     		du = 153.199892618215m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04537937)-sin(1.04535532))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.501573763791906-0.501594569659766)×R²
    abs(-0.40458743--0.40463537)×2.08058678601297e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.08058678601297e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.08058678601297e-05×40589641000000     		ar = 23473.1913701189m²