Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57093 / 8967
↖ ↑ ↗
← N 78.341643°
E133.621216°		 ← 123.43 m → N 78.341643°
E133.626709°		 →
↑
123.41 m
↓
↑
123.41 m
↓
N 78.340533°
E133.621216°		 ← 123.44 m →
15 232 m²		 N 78.340533°
E133.626709°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57093 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8967 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.871177673339844 y=0.136833190917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.871177673339844 × 216)
    floor (0.871177673339844 × 65536)
    floor (57093.5)     		tx = 57093
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136833190917969 × 216)
    floor (0.136833190917969 × 65536)
    floor (8967.5)     		ty = 8967
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57093 / 8967 ti = "16/57093/8967"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57093/8967.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57093 ÷ 216
    57093 ÷ 65536     		x = 0.871170043945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8967 ÷ 216
    8967 ÷ 65536     		y = 0.136825561523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.871170043945312 × 2 - 1) × π
    0.742340087890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.33213017
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.136825561523438 × 2 - 1) × π
    0.726348876953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.28189229571391
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33213017} λ = 2.33213017}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28189229571391))-π/2
    2×atan(9.79519829509619)-π/2
    2×1.46905796931793-π/2
    2.93811593863586-1.57079632675     		φ = 1.36731961
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33213017} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.621216°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36731961 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.341643°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57093 KachelY 8967 2.33213017 1.36731961 133.621216 78.341643
    Oben rechts KachelX + 1 57094 KachelY 8967 2.33222604 1.36731961 133.626709 78.341643
    Unten links KachelX 57093 KachelY + 1 8968 2.33213017 1.36730024 133.621216 78.340533
    Unten rechts KachelX + 1 57094 KachelY + 1 8968 2.33222604 1.36730024 133.626709 78.340533
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36731961-1.36730024) × R
    1.9369999999963e-05 × 6371000     		dl = 123.406269999764m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36731961-1.36730024) × R
    1.9369999999963e-05 × 6371000     		dr = 123.406269999764m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33213017-2.33222604) × cos(1.36731961) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.202075537149324 × 6371000     		do = 123.425266706985m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33213017-2.33222604) × cos(1.36730024) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.20209450750713 × 6371000     		du = 123.436853569526m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36731961)-sin(1.36730024))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.202075537149324-0.20209450750713)×R²
    abs(2.33222604-2.33213017)×1.89703578068467e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.89703578068467e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.89703578068467e-05×40589641000000     		ar = 15232.1667338934m²