Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57093 / 38135
↖ ↑ ↗
← N 59.901335°
W 23.189392°		 ← 153.14 m → N 59.901335°
W 23.186646°		 →
↑
153.16 m
↓
↑
153.16 m
↓
N 59.899958°
W 23.189392°		 ← 153.14 m →
23 455 m²		 N 59.899958°
W 23.186646°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57093 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38135 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435588836669922 y=0.290950775146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435588836669922 × 217)
    floor (0.435588836669922 × 131072)
    floor (57093.5)     		tx = 57093
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.290950775146484 × 217)
    floor (0.290950775146484 × 131072)
    floor (38135.5)     		ty = 38135
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57093 / 38135 ti = "17/57093/38135"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57093/38135.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57093 ÷ 217
    57093 ÷ 131072     		x = 0.435585021972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38135 ÷ 217
    38135 ÷ 131072     		y = 0.290946960449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435585021972656 × 2 - 1) × π
    -0.128829956054688 × 3.1415926535     		Λ = -0.40473124
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.290946960449219 × 2 - 1) × π
    0.418106079101562 × 3.1415926535     		Φ = 1.31351898648916
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40473124} λ = -0.40473124}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.31351898648916))-π/2
    2×atan(3.71923866163797)-π/2
    2×1.30813593032678-π/2
    2.61627186065356-1.57079632675     		φ = 1.04547553
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40473124} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.189392°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04547553 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.901335°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57093 KachelY 38135 -0.40473124 1.04547553 -23.189392 59.901335
    Oben rechts KachelX + 1 57094 KachelY 38135 -0.40468331 1.04547553 -23.186646 59.901335
    Unten links KachelX 57093 KachelY + 1 38136 -0.40473124 1.04545149 -23.189392 59.899958
    Unten rechts KachelX + 1 57094 KachelY + 1 38136 -0.40468331 1.04545149 -23.186646 59.899958
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04547553-1.04545149) × R
    2.40400000000029e-05 × 6371000     		dl = 153.158840000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04547553-1.04545149) × R
    2.40400000000029e-05 × 6371000     		dr = 153.158840000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40473124--0.40468331) × cos(1.04547553) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.501490572025995 × 6371000     		do = 153.136179099636m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40473124--0.40468331) × cos(1.04545149) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.501511370402236 × 6371000     		du = 153.142530134025m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04547553)-sin(1.04545149))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.501490572025995-0.501511370402236)×R²
    abs(-0.40468331--0.40473124)×2.07983762410269e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.07983762410269e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.07983762410269e-05×40589641000000     		ar = 23454.6459127396m²