Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57091 / 8965
↖ ↑ ↗
← N 78.343863°
E133.610230°		 ← 123.40 m → N 78.343863°
E133.615723°		 →
↑
123.47 m
↓
↑
123.47 m
↓
N 78.342753°
E133.610230°		 ← 123.41 m →
15 237 m²		 N 78.342753°
E133.615723°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57091 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8965 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.871147155761719 y=0.136802673339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.871147155761719 × 216)
    floor (0.871147155761719 × 65536)
    floor (57091.5)     		tx = 57091
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136802673339844 × 216)
    floor (0.136802673339844 × 65536)
    floor (8965.5)     		ty = 8965
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57091 / 8965 ti = "16/57091/8965"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57091/8965.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57091 ÷ 216
    57091 ÷ 65536     		x = 0.871139526367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8965 ÷ 216
    8965 ÷ 65536     		y = 0.136795043945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.871139526367188 × 2 - 1) × π
    0.742279052734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.33193842
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.136795043945312 × 2 - 1) × π
    0.726409912109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.28208404331239
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33193842} λ = 2.33193842}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28208404331239))-π/2
    2×atan(9.79707668092814)-π/2
    2×1.46907734124823-π/2
    2.93815468249646-1.57079632675     		φ = 1.36735836
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33193842} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.610230°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36735836 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.343863°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57091 KachelY 8965 2.33193842 1.36735836 133.610230 78.343863
    Oben rechts KachelX + 1 57092 KachelY 8965 2.33203429 1.36735836 133.615723 78.343863
    Unten links KachelX 57091 KachelY + 1 8966 2.33193842 1.36733898 133.610230 78.342753
    Unten rechts KachelX + 1 57092 KachelY + 1 8966 2.33203429 1.36733898 133.615723 78.342753
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36735836-1.36733898) × R
    1.93800000001243e-05 × 6371000     		dl = 123.469980000792m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36735836-1.36733898) × R
    1.93800000001243e-05 × 6371000     		dr = 123.469980000792m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33193842-2.33203429) × cos(1.36735836) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.202037586412485 × 6371000     		do = 123.402086861061m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33193842-2.33203429) × cos(1.36733898) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.202056566715699 × 6371000     		du = 123.413679798135m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36735836)-sin(1.36733898))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.202037586412485-0.202056566715699)×R²
    abs(2.33203429-2.33193842)×1.89803032137892e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.89803032137892e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.89803032137892e-05×40589641000000     		ar = 15237.1688869823m²