Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57091 / 8959
↖ ↑ ↗
← N 78.350520°
E133.610230°		 ← 123.33 m → N 78.350520°
E133.615723°		 →
↑
123.34 m
↓
↑
123.34 m
↓
N 78.349410°
E133.610230°		 ← 123.34 m →
15 213 m²		 N 78.349410°
E133.615723°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57091 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8959 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.871147155761719 y=0.136711120605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.871147155761719 × 216)
    floor (0.871147155761719 × 65536)
    floor (57091.5)     		tx = 57091
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136711120605469 × 216)
    floor (0.136711120605469 × 65536)
    floor (8959.5)     		ty = 8959
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57091 / 8959 ti = "16/57091/8959"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57091/8959.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57091 ÷ 216
    57091 ÷ 65536     		x = 0.871139526367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8959 ÷ 216
    8959 ÷ 65536     		y = 0.136703491210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.871139526367188 × 2 - 1) × π
    0.742279052734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.33193842
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.136703491210938 × 2 - 1) × π
    0.726593017578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.28265928610783
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33193842} λ = 2.33193842}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28265928610783))-π/2
    2×atan(9.80271399996336)-π/2
    2×1.46913543521628-π/2
    2.93827087043256-1.57079632675     		φ = 1.36747454
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33193842} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.610230°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36747454 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.350520°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57091 KachelY 8959 2.33193842 1.36747454 133.610230 78.350520
    Oben rechts KachelX + 1 57092 KachelY 8959 2.33203429 1.36747454 133.615723 78.350520
    Unten links KachelX 57091 KachelY + 1 8960 2.33193842 1.36745518 133.610230 78.349410
    Unten rechts KachelX + 1 57092 KachelY + 1 8960 2.33203429 1.36745518 133.615723 78.349410
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36747454-1.36745518) × R
    1.93599999998018e-05 × 6371000     		dl = 123.342559998737m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36747454-1.36745518) × R
    1.93599999998018e-05 × 6371000     		dr = 123.342559998737m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33193842-2.33203429) × cos(1.36747454) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.201923800940051 × 6371000     		do = 123.332588086095m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33193842-2.33203429) × cos(1.36745518) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.201942762110113 × 6371000     		du = 123.344169336874m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36747454)-sin(1.36745518))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201923800940051-0.201942762110113)×R²
    abs(2.33203429-2.33193842)×1.89611700617265e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.89611700617265e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.89611700617265e-05×40589641000000     		ar = 15212.8713767953m²