Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57090 / 28926
↖ ↑ ↗
← N 70.379699°
W 23.197632°		 ← 102.54 m → N 70.379699°
W 23.194885°		 →
↑
102.57 m
↓
↑
102.57 m
↓
N 70.378776°
W 23.197632°		 ← 102.54 m →
10 518 m²		 N 70.378776°
W 23.194885°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57090 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28926 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435565948486328 y=0.220691680908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435565948486328 × 217)
    floor (0.435565948486328 × 131072)
    floor (57090.5)     		tx = 57090
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.220691680908203 × 217)
    floor (0.220691680908203 × 131072)
    floor (28926.5)     		ty = 28926
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57090 / 28926 ti = "17/57090/28926"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57090/28926.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57090 ÷ 217
    57090 ÷ 131072     		x = 0.435562133789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28926 ÷ 217
    28926 ÷ 131072     		y = 0.220687866210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435562133789062 × 2 - 1) × π
    -0.128875732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40487505
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.220687866210938 × 2 - 1) × π
    0.558624267578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.75496989509026
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40487505} λ = -0.40487505}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.75496989509026))-π/2
    2×atan(5.78327363440525)-π/2
    2×1.39957689650411-π/2
    2.79915379300823-1.57079632675     		φ = 1.22835747
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40487505} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.197632°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22835747 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.379699°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57090 KachelY 28926 -0.40487505 1.22835747 -23.197632 70.379699
    Oben rechts KachelX + 1 57091 KachelY 28926 -0.40482712 1.22835747 -23.194885 70.379699
    Unten links KachelX 57090 KachelY + 1 28927 -0.40487505 1.22834137 -23.197632 70.378776
    Unten rechts KachelX + 1 57091 KachelY + 1 28927 -0.40482712 1.22834137 -23.194885 70.378776
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22835747-1.22834137) × R
    1.60999999998523e-05 × 6371000     		dl = 102.573099999059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22835747-1.22834137) × R
    1.60999999998523e-05 × 6371000     		dr = 102.573099999059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40487505--0.40482712) × cos(1.22835747) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.335785341689567 × 6371000     		do = 102.536093582633m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40487505--0.40482712) × cos(1.22834137) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.335800506856466 × 6371000     		du = 102.540724448782m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22835747)-sin(1.22834137))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335785341689567-0.335800506856466)×R²
    abs(-0.40482712--0.40487505)×1.51651668982566e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.51651668982566e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.51651668982566e-05×40589641000000     		ar = 10517.6824820524m²