Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57088 / 8962
↖ ↑ ↗
← N 78.347192°
E133.593750°		 ← 123.37 m → N 78.347192°
E133.599243°		 →
↑
123.41 m
↓
↑
123.41 m
↓
N 78.346082°
E133.593750°		 ← 123.38 m →
15 225 m²		 N 78.346082°
E133.599243°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57088 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8962 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.871101379394531 y=0.136756896972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.871101379394531 × 216)
    floor (0.871101379394531 × 65536)
    floor (57088.5)     		tx = 57088
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136756896972656 × 216)
    floor (0.136756896972656 × 65536)
    floor (8962.5)     		ty = 8962
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57088 / 8962 ti = "16/57088/8962"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57088/8962.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57088 ÷ 216
    57088 ÷ 65536     		x = 0.87109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8962 ÷ 216
    8962 ÷ 65536     		y = 0.136749267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87109375 × 2 - 1) × π
    0.7421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.33165080
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.136749267578125 × 2 - 1) × π
    0.72650146484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.28237166471011
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33165080} λ = 2.33165080}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28237166471011))-π/2
    2×atan(9.79989493509236)-π/2
    2×1.46910639232343-π/2
    2.93821278464685-1.57079632675     		φ = 1.36741646
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33165080} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.593750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36741646 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.347192°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57088 KachelY 8962 2.33165080 1.36741646 133.593750 78.347192
    Oben rechts KachelX + 1 57089 KachelY 8962 2.33174667 1.36741646 133.599243 78.347192
    Unten links KachelX 57088 KachelY + 1 8963 2.33165080 1.36739709 133.593750 78.346082
    Unten rechts KachelX + 1 57089 KachelY + 1 8963 2.33174667 1.36739709 133.599243 78.346082
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36741646-1.36739709) × R
    1.9369999999963e-05 × 6371000     		dl = 123.406269999764m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36741646-1.36739709) × R
    1.9369999999963e-05 × 6371000     		dr = 123.406269999764m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33165080-2.33174667) × cos(1.36741646) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.20198068422316 × 6371000     		do = 123.367331699735m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33165080-2.33174667) × cos(1.36739709) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.201999654959986 × 6371000     		du = 123.378918793777m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36741646)-sin(1.36739709))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20198068422316-0.201999654959986)×R²
    abs(2.33174667-2.33165080)×1.89707368262737e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.89707368262737e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.89707368262737e-05×40589641000000     		ar = 15225.0172053563m²