Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57087 / 28936
↖ ↑ ↗
← N 70.370474°
W 23.205871°		 ← 102.58 m → N 70.370474°
W 23.203125°		 →
↑
102.57 m
↓
↑
102.57 m
↓
N 70.369551°
W 23.205871°		 ← 102.59 m →
10 522 m²		 N 70.369551°
W 23.203125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57087 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28936 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435543060302734 y=0.220767974853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435543060302734 × 217)
    floor (0.435543060302734 × 131072)
    floor (57087.5)     		tx = 57087
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.220767974853516 × 217)
    floor (0.220767974853516 × 131072)
    floor (28936.5)     		ty = 28936
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57087 / 28936 ti = "17/57087/28936"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57087/28936.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57087 ÷ 217
    57087 ÷ 131072     		x = 0.435539245605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28936 ÷ 217
    28936 ÷ 131072     		y = 0.22076416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435539245605469 × 2 - 1) × π
    -0.128921508789062 × 3.1415926535     		Λ = -0.40501886
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22076416015625 × 2 - 1) × π
    0.5584716796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.75449052609406
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40501886} λ = -0.40501886}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.75449052609406))-π/2
    2×atan(5.78050197670483)-π/2
    2×1.39949639578939-π/2
    2.79899279157878-1.57079632675     		φ = 1.22819646
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40501886} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.205871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22819646 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.370474°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57087 KachelY 28936 -0.40501886 1.22819646 -23.205871 70.370474
    Oben rechts KachelX + 1 57088 KachelY 28936 -0.40497093 1.22819646 -23.203125 70.370474
    Unten links KachelX 57087 KachelY + 1 28937 -0.40501886 1.22818036 -23.205871 70.369551
    Unten rechts KachelX + 1 57088 KachelY + 1 28937 -0.40497093 1.22818036 -23.203125 70.369551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22819646-1.22818036) × R
    1.60999999998523e-05 × 6371000     		dl = 102.573099999059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22819646-1.22818036) × R
    1.60999999998523e-05 × 6371000     		dr = 102.573099999059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40501886--0.40497093) × cos(1.22819646) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.335936998859996 × 6371000     		do = 102.58240392394m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40501886--0.40497093) × cos(1.22818036) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.335952163156235 × 6371000     		du = 102.587034524223m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22819646)-sin(1.22818036))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335936998859996-0.335952163156235)×R²
    abs(-0.40497093--0.40501886)×1.51642962388232e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.51642962388232e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.51642962388232e-05×40589641000000     		ar = 10522.4326636557m²