Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57085 / 42235
↖ ↑ ↗
← N 53.756831°
W 23.211365°		 ← 180.57 m → N 53.756831°
W 23.208618°		 →
↑
180.55 m
↓
↑
180.55 m
↓
N 53.755207°
W 23.211365°		 ← 180.58 m →
32 604 m²		 N 53.755207°
W 23.208618°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57085 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42235 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435527801513672 y=0.322231292724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435527801513672 × 217)
    floor (0.435527801513672 × 131072)
    floor (57085.5)     		tx = 57085
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322231292724609 × 217)
    floor (0.322231292724609 × 131072)
    floor (42235.5)     		ty = 42235
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57085 / 42235 ti = "17/57085/42235"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57085/42235.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57085 ÷ 217
    57085 ÷ 131072     		x = 0.435523986816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42235 ÷ 217
    42235 ÷ 131072     		y = 0.322227478027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435523986816406 × 2 - 1) × π
    -0.128952026367188 × 3.1415926535     		Λ = -0.40511474
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322227478027344 × 2 - 1) × π
    0.355545043945312 × 3.1415926535     		Φ = 1.11697769804693
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40511474} λ = -0.40511474}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11697769804693))-π/2
    2×atan(3.05560527202025)-π/2
    2×1.2545150086462-π/2
    2.5090300172924-1.57079632675     		φ = 0.93823369
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40511474} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.211365°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93823369 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.756831°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57085 KachelY 42235 -0.40511474 0.93823369 -23.211365 53.756831
    Oben rechts KachelX + 1 57086 KachelY 42235 -0.40506680 0.93823369 -23.208618 53.756831
    Unten links KachelX 57085 KachelY + 1 42236 -0.40511474 0.93820535 -23.211365 53.755207
    Unten rechts KachelX + 1 57086 KachelY + 1 42236 -0.40506680 0.93820535 -23.208618 53.755207
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93823369-0.93820535) × R
    2.83399999999601e-05 × 6371000     		dl = 180.554139999746m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93823369-0.93820535) × R
    2.83399999999601e-05 × 6371000     		dr = 180.554139999746m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40511474--0.40506680) × cos(0.93823369) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.591213502212588 × 6371000     		do = 180.571821411153m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40511474--0.40506680) × cos(0.93820535) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.591236358612895 × 6371000     		du = 180.57880234413m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93823369)-sin(0.93820535))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.591213502212588-0.591236358612895)×R²
    abs(-0.40506680--0.40511474)×2.28564003067477e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.28564003067477e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.28564003067477e-05×40589641000000     		ar = 32603.6201433246m²