Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57085 / 38136
↖ ↑ ↗
← N 59.899958°
W 23.211365°		 ← 153.17 m → N 59.899958°
W 23.208618°		 →
↑
153.16 m
↓
↑
153.16 m
↓
N 59.898581°
W 23.211365°		 ← 153.18 m →
23 461 m²		 N 59.898581°
W 23.208618°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57085 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38136 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435527801513672 y=0.290958404541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435527801513672 × 217)
    floor (0.435527801513672 × 131072)
    floor (57085.5)     		tx = 57085
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.290958404541016 × 217)
    floor (0.290958404541016 × 131072)
    floor (38136.5)     		ty = 38136
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57085 / 38136 ti = "17/57085/38136"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57085/38136.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57085 ÷ 217
    57085 ÷ 131072     		x = 0.435523986816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38136 ÷ 217
    38136 ÷ 131072     		y = 0.29095458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435523986816406 × 2 - 1) × π
    -0.128952026367188 × 3.1415926535     		Λ = -0.40511474
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29095458984375 × 2 - 1) × π
    0.4180908203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.31347104958954
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40511474} λ = -0.40511474}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.31347104958954))-π/2
    2×atan(3.71906037714083)-π/2
    2×1.308123910126-π/2
    2.616247820252-1.57079632675     		φ = 1.04545149
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40511474} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.211365°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04545149 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.899958°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57085 KachelY 38136 -0.40511474 1.04545149 -23.211365 59.899958
    Oben rechts KachelX + 1 57086 KachelY 38136 -0.40506680 1.04545149 -23.208618 59.899958
    Unten links KachelX 57085 KachelY + 1 38137 -0.40511474 1.04542745 -23.211365 59.898581
    Unten rechts KachelX + 1 57086 KachelY + 1 38137 -0.40506680 1.04542745 -23.208618 59.898581
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04545149-1.04542745) × R
    2.40400000000029e-05 × 6371000     		dl = 153.158840000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04545149-1.04542745) × R
    2.40400000000029e-05 × 6371000     		dr = 153.158840000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40511474--0.40506680) × cos(1.04545149) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.501511370402236 × 6371000     		do = 153.174481423417m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40511474--0.40506680) × cos(1.04542745) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.501532168488643 × 6371000     		du = 153.180833694348m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04545149)-sin(1.04542745))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.501511370402236-0.501532168488643)×R²
    abs(-0.40506680--0.40511474)×2.07980864068702e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.07980864068702e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.07980864068702e-05×40589641000000     		ar = 23460.5123467228m²