Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57084 / 8956
↖ ↑ ↗
← N 78.353847°
E133.571777°		 ← 123.31 m → N 78.353847°
E133.577271°		 →
↑
123.28 m
↓
↑
123.28 m
↓
N 78.352738°
E133.571777°		 ← 123.32 m →
15 202 m²		 N 78.352738°
E133.577271°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57084 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8956 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.871040344238281 y=0.136665344238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.871040344238281 × 216)
    floor (0.871040344238281 × 65536)
    floor (57084.5)     		tx = 57084
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136665344238281 × 216)
    floor (0.136665344238281 × 65536)
    floor (8956.5)     		ty = 8956
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57084 / 8956 ti = "16/57084/8956"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57084/8956.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57084 ÷ 216
    57084 ÷ 65536     		x = 0.87103271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8956 ÷ 216
    8956 ÷ 65536     		y = 0.13665771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87103271484375 × 2 - 1) × π
    0.7420654296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.33126730
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13665771484375 × 2 - 1) × π
    0.7266845703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.28294690750555
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33126730} λ = 2.33126730}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28294690750555))-π/2
    2×atan(9.80553387577435)-π/2
    2×1.469164469929-π/2
    2.93832893985799-1.57079632675     		φ = 1.36753261
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33126730} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.571777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36753261 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.353847°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57084 KachelY 8956 2.33126730 1.36753261 133.571777 78.353847
    Oben rechts KachelX + 1 57085 KachelY 8956 2.33136318 1.36753261 133.577271 78.353847
    Unten links KachelX 57084 KachelY + 1 8957 2.33126730 1.36751326 133.571777 78.352738
    Unten rechts KachelX + 1 57085 KachelY + 1 8957 2.33136318 1.36751326 133.577271 78.352738
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36753261-1.36751326) × R
    1.93500000000846e-05 × 6371000     		dl = 123.278850000539m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36753261-1.36751326) × R
    1.93500000000846e-05 × 6371000     		dr = 123.278850000539m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33126730-2.33136318) × cos(1.36753261) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.201866926769926 × 6371000     		do = 123.31071098038m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33126730-2.33136318) × cos(1.36751326) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.201885878372886 × 6371000     		du = 123.322287595096m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36753261)-sin(1.36751326))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201866926769926-0.201885878372886)×R²
    abs(2.33136318-2.33126730)×1.89516029600323e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.89516029600323e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.89516029600323e-05×40589641000000     		ar = 15202.3162186481m²