Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57083 / 42283
↖ ↑ ↗
← N 53.678815°
W 23.216858°		 ← 180.87 m → N 53.678815°
W 23.214112°		 →
↑
180.87 m
↓
↑
180.87 m
↓
N 53.677188°
W 23.216858°		 ← 180.88 m →
32 715 m²		 N 53.677188°
W 23.214112°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57083 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42283 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435512542724609 y=0.322597503662109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435512542724609 × 217)
    floor (0.435512542724609 × 131072)
    floor (57083.5)     		tx = 57083
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322597503662109 × 217)
    floor (0.322597503662109 × 131072)
    floor (42283.5)     		ty = 42283
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57083 / 42283 ti = "17/57083/42283"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57083/42283.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57083 ÷ 217
    57083 ÷ 131072     		x = 0.435508728027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42283 ÷ 217
    42283 ÷ 131072     		y = 0.322593688964844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435508728027344 × 2 - 1) × π
    -0.128982543945312 × 3.1415926535     		Λ = -0.40521061
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322593688964844 × 2 - 1) × π
    0.354812622070312 × 3.1415926535     		Φ = 1.11467672686517
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40521061} λ = -0.40521061}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11467672686517))-π/2
    2×atan(3.04858249504869)-π/2
    2×1.25383419472036-π/2
    2.50766838944072-1.57079632675     		φ = 0.93687206
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40521061} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.216858°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93687206 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.678815°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57083 KachelY 42283 -0.40521061 0.93687206 -23.216858 53.678815
    Oben rechts KachelX + 1 57084 KachelY 42283 -0.40516268 0.93687206 -23.214112 53.678815
    Unten links KachelX 57083 KachelY + 1 42284 -0.40521061 0.93684367 -23.216858 53.677188
    Unten rechts KachelX + 1 57084 KachelY + 1 42284 -0.40516268 0.93684367 -23.214112 53.677188
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93687206-0.93684367) × R
    2.83899999999893e-05 × 6371000     		dl = 180.872689999932m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93687206-0.93684367) × R
    2.83899999999893e-05 × 6371000     		dr = 180.872689999932m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40521061--0.40516268) × cos(0.93687206) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.59231112895341 × 6371000     		do = 180.869328728916m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40521061--0.40516268) × cos(0.93684367) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.592334002802623 × 6371000     		du = 180.876313533945m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93687206)-sin(0.93684367))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.59231112895341-0.592334002802623)×R²
    abs(-0.40516268--0.40521061)×2.28738492130676e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.28738492130676e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.28738492130676e-05×40589641000000     		ar = 32714.9537080399m²