Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57083 / 38133
↖ ↑ ↗
← N 59.904090°
W 23.216858°		 ← 153.12 m → N 59.904090°
W 23.214112°		 →
↑
153.16 m
↓
↑
153.16 m
↓
N 59.902713°
W 23.216858°		 ← 153.13 m →
23 453 m²		 N 59.902713°
W 23.214112°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57083 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38133 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435512542724609 y=0.290935516357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435512542724609 × 217)
    floor (0.435512542724609 × 131072)
    floor (57083.5)     		tx = 57083
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.290935516357422 × 217)
    floor (0.290935516357422 × 131072)
    floor (38133.5)     		ty = 38133
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57083 / 38133 ti = "17/57083/38133"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57083/38133.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57083 ÷ 217
    57083 ÷ 131072     		x = 0.435508728027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38133 ÷ 217
    38133 ÷ 131072     		y = 0.290931701660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435508728027344 × 2 - 1) × π
    -0.128982543945312 × 3.1415926535     		Λ = -0.40521061
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.290931701660156 × 2 - 1) × π
    0.418136596679688 × 3.1415926535     		Φ = 1.3136148602884
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40521061} λ = -0.40521061}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.3136148602884))-π/2
    2×atan(3.71959525627251)-π/2
    2×1.30815996923284-π/2
    2.61631993846567-1.57079632675     		φ = 1.04552361
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40521061} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.216858°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04552361 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.904090°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57083 KachelY 38133 -0.40521061 1.04552361 -23.216858 59.904090
    Oben rechts KachelX + 1 57084 KachelY 38133 -0.40516268 1.04552361 -23.214112 59.904090
    Unten links KachelX 57083 KachelY + 1 38134 -0.40521061 1.04549957 -23.216858 59.902713
    Unten rechts KachelX + 1 57084 KachelY + 1 38134 -0.40516268 1.04549957 -23.214112 59.902713
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04552361-1.04549957) × R
    2.40400000000029e-05 × 6371000     		dl = 153.158840000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04552361-1.04549957) × R
    2.40400000000029e-05 × 6371000     		dr = 153.158840000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40521061--0.40516268) × cos(1.04552361) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.501448974404059 × 6371000     		do = 153.123476765535m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40521061--0.40516268) × cos(1.04549957) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.501469773359932 × 6371000     		du = 153.129827976923m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04552361)-sin(1.04549957))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.501448974404059-0.501469773359932)×R²
    abs(-0.40516268--0.40521061)×2.079895587348e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.079895587348e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.079895587348e-05×40589641000000     		ar = 23452.7004515446m²