Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57082 / 8912
↖ ↑ ↗
← N 78.402537°
E133.560791°		 ← 122.80 m → N 78.402537°
E133.566284°		 →
↑
122.77 m
↓
↑
122.77 m
↓
N 78.401433°
E133.560791°		 ← 122.81 m →
15 077 m²		 N 78.401433°
E133.566284°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57082 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8912 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.871009826660156 y=0.135993957519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.871009826660156 × 216)
    floor (0.871009826660156 × 65536)
    floor (57082.5)     		tx = 57082
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135993957519531 × 216)
    floor (0.135993957519531 × 65536)
    floor (8912.5)     		ty = 8912
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57082 / 8912 ti = "16/57082/8912"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57082/8912.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57082 ÷ 216
    57082 ÷ 65536     		x = 0.871002197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8912 ÷ 216
    8912 ÷ 65536     		y = 0.135986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.871002197265625 × 2 - 1) × π
    0.74200439453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.33107555
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.135986328125 × 2 - 1) × π
    0.72802734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.28716535467212
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33107555} λ = 2.33107555}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28716535467212))-π/2
    2×atan(9.84698537137122)-π/2
    2×1.46958937398238-π/2
    2.93917874796477-1.57079632675     		φ = 1.36838242
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33107555} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.560791°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36838242 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.402537°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57082 KachelY 8912 2.33107555 1.36838242 133.560791 78.402537
    Oben rechts KachelX + 1 57083 KachelY 8912 2.33117143 1.36838242 133.566284 78.402537
    Unten links KachelX 57082 KachelY + 1 8913 2.33107555 1.36836315 133.560791 78.401433
    Unten rechts KachelX + 1 57083 KachelY + 1 8913 2.33117143 1.36836315 133.566284 78.401433
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36838242-1.36836315) × R
    1.92700000001267e-05 × 6371000     		dl = 122.769170000807m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36838242-1.36836315) × R
    1.92700000001267e-05 × 6371000     		dr = 122.769170000807m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33107555-2.33117143) × cos(1.36838242) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.201034539051758 × 6371000     		do = 122.802245710804m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33107555-2.33117143) × cos(1.36836315) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.201053415601072 × 6371000     		du = 122.81377647889m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36838242)-sin(1.36836315))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201034539051758-0.201053415601072)×R²
    abs(2.33117143-2.33107555)×1.88765493146781e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.88765493146781e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.88765493146781e-05×40589641000000     		ar = 15077.0375918585m²