Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57082 / 8909
↖ ↑ ↗
← N 78.405850°
E133.560791°		 ← 122.77 m → N 78.405850°
E133.566284°		 →
↑
122.71 m
↓
↑
122.71 m
↓
N 78.404746°
E133.560791°		 ← 122.78 m →
15 065 m²		 N 78.404746°
E133.566284°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57082 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8909 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.871009826660156 y=0.135948181152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.871009826660156 × 216)
    floor (0.871009826660156 × 65536)
    floor (57082.5)     		tx = 57082
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135948181152344 × 216)
    floor (0.135948181152344 × 65536)
    floor (8909.5)     		ty = 8909
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57082 / 8909 ti = "16/57082/8909"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57082/8909.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57082 ÷ 216
    57082 ÷ 65536     		x = 0.871002197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8909 ÷ 216
    8909 ÷ 65536     		y = 0.135940551757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.871002197265625 × 2 - 1) × π
    0.74200439453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.33107555
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.135940551757812 × 2 - 1) × π
    0.728118896484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.28745297606984
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33107555} λ = 2.33107555}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28745297606984))-π/2
    2×atan(9.84981798240731)-π/2
    2×1.46961828082733-π/2
    2.93923656165465-1.57079632675     		φ = 1.36844023
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33107555} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.560791°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36844023 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.405850°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57082 KachelY 8909 2.33107555 1.36844023 133.560791 78.405850
    Oben rechts KachelX + 1 57083 KachelY 8909 2.33117143 1.36844023 133.566284 78.405850
    Unten links KachelX 57082 KachelY + 1 8910 2.33107555 1.36842097 133.560791 78.404746
    Unten rechts KachelX + 1 57083 KachelY + 1 8910 2.33117143 1.36842097 133.566284 78.404746
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36844023-1.36842097) × R
    1.92599999999654e-05 × 6371000     		dl = 122.70545999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36844023-1.36842097) × R
    1.92599999999654e-05 × 6371000     		dr = 122.70545999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33107555-2.33117143) × cos(1.36844023) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.200977908955938 × 6371000     		do = 122.767653132959m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33107555-2.33117143) × cos(1.36842097) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.200996775933264 × 6371000     		du = 122.779178053982m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36844023)-sin(1.36842097))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.200977908955938-0.200996775933264)×R²
    abs(2.33117143-2.33107555)×1.88669773266981e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.88669773266981e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.88669773266981e-05×40589641000000     		ar = 15064.9684365185m²