Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57082 / 42215
↖ ↑ ↗
← N 53.789294°
W 23.219605°		 ← 180.43 m → N 53.789294°
W 23.216858°		 →
↑
180.43 m
↓
↑
180.43 m
↓
N 53.787672°
W 23.219605°		 ← 180.44 m →
32 555 m²		 N 53.787672°
W 23.216858°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57082 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42215 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435504913330078 y=0.322078704833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435504913330078 × 217)
    floor (0.435504913330078 × 131072)
    floor (57082.5)     		tx = 57082
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322078704833984 × 217)
    floor (0.322078704833984 × 131072)
    floor (42215.5)     		ty = 42215
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57082 / 42215 ti = "17/57082/42215"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57082/42215.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57082 ÷ 217
    57082 ÷ 131072     		x = 0.435501098632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42215 ÷ 217
    42215 ÷ 131072     		y = 0.322074890136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435501098632812 × 2 - 1) × π
    -0.128997802734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.40525855
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322074890136719 × 2 - 1) × π
    0.355850219726562 × 3.1415926535     		Φ = 1.11793643603933
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40525855} λ = -0.40525855}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11793643603933))-π/2
    2×atan(3.05853620165661)-π/2
    2×1.2547983085109-π/2
    2.50959661702181-1.57079632675     		φ = 0.93880029
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40525855} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.219605°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93880029 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.789294°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57082 KachelY 42215 -0.40525855 0.93880029 -23.219605 53.789294
    Oben rechts KachelX + 1 57083 KachelY 42215 -0.40521061 0.93880029 -23.216858 53.789294
    Unten links KachelX 57082 KachelY + 1 42216 -0.40525855 0.93877197 -23.219605 53.787672
    Unten rechts KachelX + 1 57083 KachelY + 1 42216 -0.40521061 0.93877197 -23.216858 53.787672
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93880029-0.93877197) × R
    2.83199999999706e-05 × 6371000     		dl = 180.426719999813m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93880029-0.93877197) × R
    2.83199999999706e-05 × 6371000     		dr = 180.426719999813m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40525855--0.40521061) × cos(0.93880029) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.590756435885221 × 6371000     		do = 180.432221589888m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40525855--0.40521061) × cos(0.93877197) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.590779285638756 × 6371000     		du = 180.43920049277m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93880029)-sin(0.93877197))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.590756435885221-0.590779285638756)×R²
    abs(-0.40521061--0.40525855)×2.2849753534393e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.2849753534393e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.2849753534393e-05×40589641000000     		ar = 32555.4235161489m²