Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57081 / 42277
↖ ↑ ↗
← N 53.688575°
W 23.222351°		 ← 180.87 m → N 53.688575°
W 23.219605°		 →
↑
180.81 m
↓
↑
180.81 m
↓
N 53.686949°
W 23.222351°		 ← 180.87 m →
32 703 m²		 N 53.686949°
W 23.219605°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57081 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42277 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435497283935547 y=0.322551727294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435497283935547 × 217)
    floor (0.435497283935547 × 131072)
    floor (57081.5)     		tx = 57081
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322551727294922 × 217)
    floor (0.322551727294922 × 131072)
    floor (42277.5)     		ty = 42277
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57081 / 42277 ti = "17/57081/42277"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57081/42277.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57081 ÷ 217
    57081 ÷ 131072     		x = 0.435493469238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42277 ÷ 217
    42277 ÷ 131072     		y = 0.322547912597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435493469238281 × 2 - 1) × π
    -0.129013061523438 × 3.1415926535     		Λ = -0.40530649
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322547912597656 × 2 - 1) × π
    0.354904174804688 × 3.1415926535     		Φ = 1.11496434826289
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40530649} λ = -0.40530649}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11496434826289))-π/2
    2×atan(3.0494594587177)-π/2
    2×1.25391936552795-π/2
    2.50783873105589-1.57079632675     		φ = 0.93704240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40530649} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.222351°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93704240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.688575°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57081 KachelY 42277 -0.40530649 0.93704240 -23.222351 53.688575
    Oben rechts KachelX + 1 57082 KachelY 42277 -0.40525855 0.93704240 -23.219605 53.688575
    Unten links KachelX 57081 KachelY + 1 42278 -0.40530649 0.93701402 -23.222351 53.686949
    Unten rechts KachelX + 1 57082 KachelY + 1 42278 -0.40525855 0.93701402 -23.219605 53.686949
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93704240-0.93701402) × R
    2.838000000005e-05 × 6371000     		dl = 180.808980000319m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93704240-0.93701402) × R
    2.838000000005e-05 × 6371000     		dr = 180.808980000319m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40530649--0.40525855) × cos(0.93704240) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.592173875833417 × 6371000     		do = 180.86514423518m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40530649--0.40525855) × cos(0.93701402) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.592196744488808 × 6371000     		du = 180.872128911176m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93704240)-sin(0.93701402))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.592173875833417-0.592196744488808)×R²
    abs(-0.40525855--0.40530649)×2.28686553910284e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.28686553910284e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.28686553910284e-05×40589641000000     		ar = 32702.6736949685m²