Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57080 / 9000
↖ ↑ ↗
← N 78.304955°
E133.549805°		 ← 123.81 m → N 78.304955°
E133.555298°		 →
↑
123.85 m
↓
↑
123.85 m
↓
N 78.303841°
E133.549805°		 ← 123.82 m →
15 335 m²		 N 78.303841°
E133.555298°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57080 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9000 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.870979309082031 y=0.137336730957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.870979309082031 × 216)
    floor (0.870979309082031 × 65536)
    floor (57080.5)     		tx = 57080
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137336730957031 × 216)
    floor (0.137336730957031 × 65536)
    floor (9000.5)     		ty = 9000
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57080 / 9000 ti = "16/57080/9000"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57080/9000.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57080 ÷ 216
    57080 ÷ 65536     		x = 0.8709716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9000 ÷ 216
    9000 ÷ 65536     		y = 0.1373291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8709716796875 × 2 - 1) × π
    0.741943359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.33088381
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1373291015625 × 2 - 1) × π
    0.725341796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.27872846033899
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33088381} λ = 2.33088381}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27872846033899))-π/2
    2×atan(9.76425687281887)-π/2
    2×1.46873780670998-π/2
    2.93747561341997-1.57079632675     		φ = 1.36667929
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33088381} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.549805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36667929 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.304955°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57080 KachelY 9000 2.33088381 1.36667929 133.549805 78.304955
    Oben rechts KachelX + 1 57081 KachelY 9000 2.33097968 1.36667929 133.555298 78.304955
    Unten links KachelX 57080 KachelY + 1 9001 2.33088381 1.36665985 133.549805 78.303841
    Unten rechts KachelX + 1 57081 KachelY + 1 9001 2.33097968 1.36665985 133.555298 78.303841
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36667929-1.36665985) × R
    1.94399999999817e-05 × 6371000     		dl = 123.852239999883m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36667929-1.36665985) × R
    1.94399999999817e-05 × 6371000     		dr = 123.852239999883m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33088381-2.33097968) × cos(1.36667929) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.202702605839304 × 6371000     		do = 123.808272593775m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33088381-2.33097968) × cos(1.36665985) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.20272164223331 × 6371000     		du = 123.819899790419m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36667929)-sin(1.36665985))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.202702605839304-0.20272164223331)×R²
    abs(2.33097968-2.33088381)×1.90363940066329e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.90363940066329e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.90363940066329e-05×40589641000000     		ar = 15334.6519188289m²