Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 57080 / 8904
↖ ↑ ↗
← N 78.411368°
E133.549805°		 ← 122.70 m → N 78.411368°
E133.555298°		 →
↑
122.71 m
↓
↑
122.71 m
↓
N 78.410265°
E133.549805°		 ← 122.71 m →
15 056 m²		 N 78.410265°
E133.555298°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57080 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8904 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.870979309082031 y=0.135871887207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.870979309082031 × 216)
    floor (0.870979309082031 × 65536)
    floor (57080.5)     		tx = 57080
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135871887207031 × 216)
    floor (0.135871887207031 × 65536)
    floor (8904.5)     		ty = 8904
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57080 / 8904 ti = "16/57080/8904"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57080/8904.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57080 ÷ 216
    57080 ÷ 65536     		x = 0.8709716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8904 ÷ 216
    8904 ÷ 65536     		y = 0.1358642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8709716796875 × 2 - 1) × π
    0.741943359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.33088381
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1358642578125 × 2 - 1) × π
    0.728271484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.28793234506604
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.33088381} λ = 2.33088381}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28793234506604))-π/2
    2×atan(9.85454081166482)-π/2
    2×1.46966644080679-π/2
    2.93933288161358-1.57079632675     		φ = 1.36853655
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.33088381} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 133.549805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36853655 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.411368°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57080 KachelY 8904 2.33088381 1.36853655 133.549805 78.411368
    Oben rechts KachelX + 1 57081 KachelY 8904 2.33097968 1.36853655 133.555298 78.411368
    Unten links KachelX 57080 KachelY + 1 8905 2.33088381 1.36851729 133.549805 78.410265
    Unten rechts KachelX + 1 57081 KachelY + 1 8905 2.33097968 1.36851729 133.555298 78.410265
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36853655-1.36851729) × R
    1.92599999999654e-05 × 6371000     		dl = 122.70545999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36853655-1.36851729) × R
    1.92599999999654e-05 × 6371000     		dr = 122.70545999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.33088381-2.33097968) × cos(1.36853655) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.200883553358858 × 6371000     		do = 122.69721758573m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.33088381-2.33097968) × cos(1.36851729) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.200902420708953 × 6371000     		du = 122.708741532421m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36853655)-sin(1.36851729))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.200883553358858-0.200902420708953)×R²
    abs(2.33097968-2.33088381)×1.88673500954584e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.88673500954584e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.88673500954584e-05×40589641000000     		ar = 15056.3255509447m²