Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5708 / 11852
↖ ↑ ↗
← S 62.390370°
W 54.580078°		 ← 1 132.33 m → S 62.390370°
W 54.558105°		 →
↑
1 132.13 m
↓
↑
1 132.13 m
↓
S 62.400551°
W 54.580078°		 ← 1 131.94 m →
1 281 718 m²		 S 62.400551°
W 54.558105°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5708 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11852 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.348419189453125 y=0.723419189453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.348419189453125 × 214)
    floor (0.348419189453125 × 16384)
    floor (5708.5)     		tx = 5708
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723419189453125 × 214)
    floor (0.723419189453125 × 16384)
    floor (11852.5)     		ty = 11852
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5708 / 11852 ti = "14/5708/11852"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5708/11852.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5708 ÷ 214
    5708 ÷ 16384     		x = 0.348388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11852 ÷ 214
    11852 ÷ 16384     		y = 0.723388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.348388671875 × 2 - 1) × π
    -0.30322265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.95260207
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.723388671875 × 2 - 1) × π
    -0.44677734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.40359242087524
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95260207} λ = -0.95260207}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40359242087524))-π/2
    2×atan(0.245712673183876)-π/2
    2×0.240939479291127-π/2
    0.481878958582254-1.57079632675     		φ = -1.08891737
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95260207} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.580078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08891737 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.390370°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5708 KachelY 11852 -0.95260207 -1.08891737 -54.580078 -62.390370
    Oben rechts KachelX + 1 5709 KachelY 11852 -0.95221857 -1.08891737 -54.558105 -62.390370
    Unten links KachelX 5708 KachelY + 1 11853 -0.95260207 -1.08909507 -54.580078 -62.400551
    Unten rechts KachelX + 1 5709 KachelY + 1 11853 -0.95221857 -1.08909507 -54.558105 -62.400551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08891737--1.08909507) × R
    0.000177699999999836 × 6371000     		dl = 1132.12669999896m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08891737--1.08909507) × R
    0.000177699999999836 × 6371000     		dr = 1132.12669999896m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95260207--0.95221857) × cos(-1.08891737) × R
    0.000383499999999981 × 0.463444984547496 × 6371000     		do = 1132.32516667767m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95260207--0.95221857) × cos(-1.08909507) × R
    0.000383499999999981 × 0.46328751269526 × 6371000     		du = 1131.94041908675m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08891737)-sin(-1.08909507))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.463444984547496-0.46328751269526)×R²
    abs(-0.95221857--0.95260207)×0.000157471852236524×R²
    0.000383499999999981×0.000157471852236524×6371000²
    0.000383499999999981×0.000157471852236524×40589641000000     		ar = 1281717.76614m²