Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57079 / 42279
↖ ↑ ↗
← N 53.685322°
W 23.227844°		 ← 180.88 m → N 53.685322°
W 23.225097°		 →
↑
180.87 m
↓
↑
180.87 m
↓
N 53.683695°
W 23.227844°		 ← 180.89 m →
32 717 m²		 N 53.683695°
W 23.225097°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57079 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42279 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435482025146484 y=0.322566986083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435482025146484 × 217)
    floor (0.435482025146484 × 131072)
    floor (57079.5)     		tx = 57079
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322566986083984 × 217)
    floor (0.322566986083984 × 131072)
    floor (42279.5)     		ty = 42279
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57079 / 42279 ti = "17/57079/42279"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57079/42279.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57079 ÷ 217
    57079 ÷ 131072     		x = 0.435478210449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42279 ÷ 217
    42279 ÷ 131072     		y = 0.322563171386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435478210449219 × 2 - 1) × π
    -0.129043579101562 × 3.1415926535     		Λ = -0.40540236
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322563171386719 × 2 - 1) × π
    0.354873657226562 × 3.1415926535     		Φ = 1.11486847446365
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40540236} λ = -0.40540236}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11486847446365))-π/2
    2×atan(3.0491671094683)-π/2
    2×1.25389097745192-π/2
    2.50778195490384-1.57079632675     		φ = 0.93698563
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40540236} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.227844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93698563 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.685322°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57079 KachelY 42279 -0.40540236 0.93698563 -23.227844 53.685322
    Oben rechts KachelX + 1 57080 KachelY 42279 -0.40535442 0.93698563 -23.225097 53.685322
    Unten links KachelX 57079 KachelY + 1 42280 -0.40540236 0.93695724 -23.227844 53.683695
    Unten rechts KachelX + 1 57080 KachelY + 1 42280 -0.40535442 0.93695724 -23.225097 53.683695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93698563-0.93695724) × R
    2.83899999999893e-05 × 6371000     		dl = 180.872689999932m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93698563-0.93695724) × R
    2.83899999999893e-05 × 6371000     		dr = 180.872689999932m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40540236--0.40535442) × cos(0.93698563) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.592219620724995 × 6371000     		do = 180.879115902542m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40540236--0.40535442) × cos(0.93695724) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.592242496483858 × 6371000     		du = 180.886102748121m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93698563)-sin(0.93695724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.592219620724995-0.592242496483858)×R²
    abs(-0.40535442--0.40540236)×2.28757588629502e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.28757588629502e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.28757588629502e-05×40589641000000     		ar = 32716.7241250787m²